Calcule:
integral duplaB(x^2+2 x) d x d y, onde B é o círculo x^2+y^2 <= 4

Passo 1

O enunciado pede integral duplaB(x^2+2x),dx,dy, onde B é o disco x^2+y^2<=4. Como o domínio é um círculo, vamos usar coordenadas polares para simplificar.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, dx,dy = r,dr,dtheta,
com 0<= r<=2 e 0<=theta<=2pi. O integrando fica
x^2+2x = r^2cos^2theta + 2rcostheta,
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integral duplaB(x^2+2x),dx,dy =integral0^2piintegral0^2l(r^2cos^2theta+2rcosthetar),r,dr,dtheta

Passo 3

Distributindo o r do jacobiano:
integral0^2piintegral0^2l(r^3cos^2theta + 2r^2costhetar),dr,dtheta =integral0^2pil(cos^2theta!integral0^2r^3dr +2costheta!integral0^2r^2drr)dtheta

Passo 4

Calculamos as integrais em r:
integral0^2r^3dr = 2^44 = 4, integral0^2r^2dr = 2^33 = 83
Substituindo,
integral duplaB(x^2+2x),dx,dy =integral0^2pil(4cos^2theta + tfrac163costhetar)dtheta

Passo 5

Agora usamos
integral0^2picostheta,dtheta=0
e
integral0^2picos^2theta,dtheta=pi. Assim,
integral0^2pi4cos^2theta,dtheta + tfrac163integral0^2picostheta,dtheta =4pi + tfrac163cdot0 = 4pi

Resposta

4pi

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