Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta de tal forma que se v m / s for a velocidade após t s, então -
v=t+3t^2+3 t+2
Ache a distância percorrida pela partícula desde o instante em que t=0 ao instante em que t=2.

Passo 1

O enunciado diz que a velocidade da partícula é dada por v(t)=t+3t^2+3t+2 em m/s, e pede a distância percorrida de t=0 a t=2. Como distância se obtém pela integral da velocidade, vamos calcular integral0^2v(t),dt.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador e fazemos frações parciais. Note que t^2+3t+2=(t+1)(t+2). Procuramos constantes A e B tais que
t+3(t+1)(t+2)=At+1+Bt+2
Multiplicando ambos os lados por (t+1)(t+2) obtém-se
t+3=A(t+2)+B(t+1)=(A+B)t+(2A+B)
Igualando coeficientes, temos
A+B=1, 2A+B=3
Da primeira equação B=1-A. Substituindo na segunda: 2A+(1-A)=3 leva a A=2 e B=-1. Portanto
v(t)=2t+1-1t+2

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
integral v(t),dt=integralgl(2t+1-1t+2gr)dt =2ln|t+1|-ln|t+2|+C

Passo 4

Para obter a distância, avaliamos de 0 a 2:
integral0^2v(t),dt=l[2ln(t+1)-ln(t+2)r]0^2 =l(2ln3-ln4r)-l(2ln1-ln2r) =2ln3-ln4+ln2 =2ln3-ln2 =ln92

Resposta

lntfrac92 metros

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