Nos Exercícios de 1 a 20, calcule a integral indefinida.
integral d x16 x^4-8 x^2+1

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral dx16x^4-8x^2+1
O conteúdo aqui é integração de função racional por fatoração do denominador e uso de substituição para reduzir a integral a uma forma conhecida.

Passo 2

Note que o polinômio do denominador é um quadrado perfeito:
16x^4 - 8x^2 + 1 = (4x^2 - 1)^2
Logo a integral fica
integral dx(4x^2 - 1)^2

Passo 3

Para simplificar, faça a substituição linear
u = 2x, du = 2,dx Longrightarrow dx = du2,
e observe que
4x^2 - 1 = u^2 - 1
Assim
integral dx(4x^2 - 1)^2 = 12 integral du(u^2 - 1)^2

Passo 4

Agora precisamos calcular
integral du(u^2 - 1)^2
Repare que a derivada
ddu!l(uu^2-1r) = (u^2-1) - 2u^2(u^2-1)^2 = -u^2+1(u^2-1)^2
Isso sugere decompor
1(u^2-1)^2 = Acdotu^2+1(u^2-1)^2 + Bcdot1u^2-1,
e escolher A e B para que a soma dê 1/(u^2-1)^2.

Passo 5

Escrevendo
1 = A,(u^2+1) + B,(u^2-1),
comparamos coeficientes de u^2 e de termo constante:
  • Coeficiente de u^2: 0 = A + B.
  • Termo constante: 1 = A - B.
    Resolve-se o sistema:
A + B = 0, A - B = 1 Longrightarrow A = tfrac12,; B = -tfrac12
Então
1(u^2-1)^2 = 12u^2+1(u^2-1)^2 -121u^2-1 = -12ddu!l(uu^2-1r) -121u^2-1
Integrando em u:
integral du(u^2-1)^2 = -12uu^2-1 -12integral duu^2-1 = -u2(u^2-1) -12cdotl(12lnl|tfracu-1u+1r|r) +C
Assim
integral du(u^2-1)^2 = -u2(u^2-1) -14lnl|u-1u+1r|+C

Passo 6

Voltando à variável x e lembrando do fator 1/2 de antes:
integral dx(4x^2-1)^2 = 12l[ -u2(u^2-1) -14lnl|u-1u+1r| r]+C
com u=2x. Logo
integral dx16x^4-8x^2+1 = -x2,(4x^2-1) -18lnl|2x-12x+1r|+C

Resposta

boxed integral dx16x^4-8x^2+1 = -x2(4x^2-1) -18ln!l|tfrac2x-12x+1r|+C

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