Calcule
I=ointgamma(e^-x^3 / 3-y z) d x+(e^-y^3 / 3+x z+2 x) d y+(e^-z^3 / 3+5) d z
onde gamma é a circunferência x(t)=cos t, y(t)=sen t, z(t)=2, com 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
I=ointgammal(e^-x^3/3-yzr),dx+l(e^-y^3/3+xz+2xr),dy+l(e^-z^3/3+5r),dz
ao longo da circunferência gammacolon x(t)=cos t,;y(t)=sin t,;z(t)=2, 0<= t<=2pi.
O conteúdo é integração de campos vetoriais em curva fechada e faremos isso usando parametrização direta.

Passo 2

Parametrizamos gamma por
x=cos t, y=sin t, z=2,
então
dx=-sin t,dt, dy=cos t,dt, dz=0

Passo 3

Substituindo em I obtemos
I=integral0^2pil(e^-(cos t)^3/3-(sin t)cdot2r)(-sin t),dt +l(e^-(sin t)^3/3+(cos t)cdot2+2cos tr)cos t,dt
Isso simplifica para
I=integral0^2pil[-e^-(cos t)^3/3sin t+2sin^2t +e^-(sin t)^3/3cos t+4cos^2tr],dt

Passo 4

Os termos exponenciais se anulam pois são integrais de derivada de função composta em intervalo fechado:
integral0^2pi-e^-(cos t)^3/3sin t,dt =integralcos0^cos2pie^-u^3/3,du=0, integral0^2pie^-(sin t)^3/3cos t,dt =integralsin0^sin2pie^-v^3/3,dv=0

Passo 5

Fica então somente
I=integral0^2pil(2sin^2t+4cos^2tr),dt =2integral0^2pisin^2t,dt+4integral0^2picos^2t,dt
Como integral0^2pisin^2t,dt =integral0^2picos^2t,dt=pi, segue
I=2pi+4pi=6pi

Resposta

6pi

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