Calcule ointpartial S F cdot d r, onde
F(x, y, z)=(y-z) i+[ln (1+y^2)+y z] j+(-x z+z^20) k
e S consiste das cinco faces do cubo [0,1] times[0,1] times[0,1] que não estão no plano x y, com o campo normal unitário n de S apontando para fora de S.

Passo 1

O enunciado pede
calcular
ointpartial Svec Fcdot dvec r,
once
vec F(x,y,z)=(y-z),vec i+l[ln(1+y^2)+yzr] ,vec j+(-xz+z^20),vec k
e S é a superfície formada pelas cinco faces do cubo [0,1]^3 exceto a face z=0, com normais apontando para fora.
Vamos usar o Teorema de Stokes:
ointpartial Svec Fcdot dvec r =integral duplaS(nablatimesvec F)cdotvec n,dS

Passo 2

Calculamos o rotor nablatimesvec F.
nablatimesvec F = vec i & vec j & vec k partialx & partialy & partialz y-z & ln(1+y^2)+yz & -xz+z^20
Fazendo as derivações parciais, obtemos
nablatimesvec F =(-y,;z-1,;-1)

Passo 3

Pelo Teorema de Stokes,
ointpartial Svec Fcdot dvec r =integral duplaS(nablatimesvec F)cdotvec n,dS
Vamos decompor S em suas cinco faces e somar as integrais de (nablatimesvec F)cdotvec n.

Passo 4

As cinco faces têm normas unitárias para fora do cubo:
em z=1 vec n=vec k;
em x=1 vec n=vec i;
em x=0 vec n=-vec i;
em y=1 vec n=vec j;
em y=0 vec n=-vec j.
Em cada face, as coordenadas livres variam de 0 a 1.

Passo 5

Face z=1: aqui vec n=vec k, dS=dx,dy e
(nablatimesvec F)cdotvec n = -1
Logo
integral duplaz=1(nablatimesvec F)cdotvec n,dS =integral0^1!!integral0^1(-1),dx,dy=-1

Passo 6

Faces em x constantes:
para x=1, vec n=vec i, dS=dy,dz e
(nablatimesvec F)cdotvec n=-y Longrightarrow integral0^1!!integral0^1(-y),dy,dz=-tfrac12
para x=0, vec n=-vec i, dS=dy,dz e
(nablatimesvec F)cdotvec n=,y Longrightarrow integral0^1!!integral0^1y,dy,dz=tfrac12

Passo 7

Faces em y constantes:
para y=1, vec n=vec j, dS=dx,dz e
(nablatimesvec F)cdotvec n=z-1 Longrightarrow integral0^1!!integral0^1(z-1),dx,dz=-tfrac12
para y=0, vec n=-vec j, dS=dx,dz e
(nablatimesvec F)cdotvec n=1-z Longrightarrow integral0^1!!integral0^1(1-z),dx,dz=tfrac12

Passo 8

Somando as cinco contribuições:
-1 +l(-tfrac12+tfrac12r)+l(-tfrac12+tfrac12r) =-1

Resposta

-1

Exercícios relacionados