O enunciado pede uma interpretação geométrica da desigualdade
Isso é equivalente ao fato de que, em termos de vetores no plano, a norma de um vetor é sempre maior do que a norma de sua projeção ortogonal numa reta (salvo no caso degenerado em que o vetor já está alinhado com essa reta).
Passo 2
Considere o vetor e a reta que passa pela origem com direção dada por .
A projeção ortogonal de em é
Passo 3
Calculemos as normas ao quadrado:
– Da projeção:
– Do vetor original:
|vec v|^2=a^2+b^2
Passo 4
Pelo Teorema de Pitágoras, escrevemos
vec v =projr(vec v)+vec vperp,
onde vec vperp é o componente perpendicular. Se aneq b, então vec vperpneq(0,0) e
l|projr(vec v)r|^2 <|vec v|^2
Passo 5
Substituindo as expressões de cada norma ao quadrado:
Geometricamente, ela afirma que o ponto l(tfraca+b2,tfraca+b2r), que é a projeção ortogonal de (a,b) na reta y=x, fica sempre mais próximo da origem do que o ponto original (a,b). Equivalente: a norma de um vetor é estritamente maior que a norma de sua projeção, salvo quando o vetor já está inteiramente sobre aquela reta (caso a=b).