Interprete geometricamente esta desigualdade.

Passo 1

O enunciado pede uma interpretação geométrica da desigualdade
l(tfraca+b2r)^2<tfraca^2+b^22
Isso é equivalente ao fato de que, em termos de vetores no plano, a norma de um vetor é sempre maior do que a norma de sua projeção ortogonal numa reta (salvo no caso degenerado em que o vetor já está alinhado com essa reta).

Passo 2

Considere o vetor vec v=(a,b) e a reta r que passa pela origem com direção dada por vec u=(1,1).
A projeção ortogonal de vec v em r é
projr(vec v) =vec vcdotvec uvec ucdotvec u,vec u =a+b2,(1,1)

Passo 3

Calculemos as normas ao quadrado:
– Da projeção:
l|projr(vec v)r|^2 =l|tfraca+b2(1,1)r|^2 =2l(tfraca+b2r)^2
– Do vetor original:
|vec v|^2=a^2+b^2

Passo 4

Pelo Teorema de Pitágoras, escrevemos
vec v =projr(vec v)+vec vperp,
onde vec vperp é o componente perpendicular. Se aneq b, então vec vperpneq(0,0) e
l|projr(vec v)r|^2 <|vec v|^2

Passo 5

Substituindo as expressões de cada norma ao quadrado:
2l(tfraca+b2r)^2<a^2+b^2 Long<=ftrightarrow l(tfraca+b2r)^2<tfraca^2+b^22,
que é exatamente a desigualdade dada.

Resposta

Geometricamente, ela afirma que o ponto l(tfraca+b2,tfraca+b2r), que é a projeção ortogonal de (a,b) na reta y=x, fica sempre mais próximo da origem do que o ponto original (a,b). Equivalente: a norma de um vetor é estritamente maior que a norma de sua projeção, salvo quando o vetor já está inteiramente sobre aquela reta (caso a=b).

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