Use o Teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva gamma.
ointgamma(3 y+z) d x+(x+4 y) d y+(2 x+y) d z=-3 raiz2 pi a^24
onde gamma é a curva obtida como interseção da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 com o plano y+z=a.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
ointgamma(3y+z),dx+(x+4y),dy+(2x+y),dz
onde gamma é a curva de interseção da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 com o plano y+z=a. Vamos usar o Teorema de Stokes, que nos diz
ointgamma Fcdot d r ;=;integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS,
escolhendo S como o disco planar dentro da esfera e F=(3y+z,;x+4y,;2x+y).

Passo 2

Calculamos o rotacional
nablatimes F =l(partialpartial y(2x+y)-partialpartial z(x+4y),; partialpartial z(3y+z)-partialpartial x(2x+y),; partialpartial x(x+4y)-partialpartial y(3y+z)r)
Isso dá
nablatimes F=(1-0,;1-2,;1-3)=(1,,-1,,-2)

Passo 3

O disco S está no plano y+z=a. Um vetor normal não unitário é (0,1,1), de modo que o versor normal pode ser tomado como
n=1raiz2,(0,1,1)
Pelo Teorema de Stokes,
ointgamma Fcdot d r =integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS

Passo 4

O produto escalar é
(nablatimes F)cdot n =(1,-1,-2)cdot1raiz2(0,1,1) =1raiz2l(0-1-2r) =-3raiz2
Como isso é constante em S, podemos tirá-lo fora da integral.

Passo 5

O raio R do círculo de interseção obtém-se pela distância do centro à reta de corte. A distância do centro (0,0,0) ao plano y+z=a é
d=|a|raiz1^2+1^2=araiz2,
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R=raiza^2-d^2 =raiza^2-a^22 =araiz2 Longrightarrow área(S)=pi R^2=pi a^22 á

Passo 6

Substituindo em Stokes,
ointgamma Fcdot d r =-3raiz2;pi a^22 =-3raiz2,pi a^24
Para que a fórmula de Stokes se aplique com o versor n=tfrac1raiz2(0,1,1) como normal positiva, a orientação positiva de gamma é no sentido anti-horário quando vista ao longo de n. Como obtivemos sinal negativo, concluímos que gamma está orientada no sentido horário quando vista na direção de (0,1,1).

Resposta

ointgamma(3y+z),dx+(x+4y),dy+(2x+y),dz =-3raiz2,pi a^24,
com gamma orientada no sentido horário vista na direção do vetor tfrac1raiz2(0,1,1).

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