Use o Teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva
.
onde
é a curva obtida como interseção da esfera
com o plano
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
é a curva de interseção da esfera
com o plano
. Vamos usar o Teorema de Stokes, que nos diz
escolhendo
como o disco planar dentro da esfera e
.
Passo 2
Calculamos o rotacional
Isso dá
Passo 3
O disco
está no plano
. Um vetor normal não unitário é
, de modo que o versor normal pode ser tomado como
Pelo Teorema de Stokes,
Passo 4
O produto escalar é
Como isso é constante em
, podemos tirá-lo fora da integral.
Passo 5
O raio
do círculo de interseção obtém-se pela distância do centro à reta de corte. A distância do centro
ao plano
é
logo
Passo 6
Substituindo em Stokes,
Para que a fórmula de Stokes se aplique com o versor
como normal positiva, a orientação positiva de
é no sentido anti-horário quando vista ao longo de
. Como obtivemos sinal negativo, concluímos que
está orientada no sentido horário quando vista na direção de
.
Resposta
com
orientada no sentido horário vista na direção do vetor
.