F(x, y, z)=(-2 y+e^sen x) i+(-z+y) j+(x^3+e^sen z) k
e gamma é a interseção da superfície z=y^2 com o plano x+z=1, orientada no sentido do crescimento de y.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha integralgamma F cdot d r, onde o campo vetorial F(x, y, z) é dado e a curva gamma é a interseção das superfícies z = y^2 e x + z = 1, orientada no sentido do crescimento de y.
Conteúdo da matéria: Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e parametrização de curvas no espaço tridimensional.
O que vamos precisar: Parametrizar a curva gamma corretamente e calcular a integral de linha utilizando a definição de integral de um campo vetorial ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva gamma. Sabemos que gamma é a interseção entre as superfícies z = y^2 e x + z = 1.
Vamos substituir z = y^2 na equação do plano x + z = 1:
x + y^2 = 1
Isso nos dá:
x = 1 - y^2
Então, podemos parametrizar gamma em termos de y:
r(y) = (1 - y^2) i + y j + y^2 k
Aqui, y varia ao longo da curva. Como a orientação é no sentido do crescimento de y, y aumenta ao longo da parametrização.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de r(y) em relação a y, que nos dá o vetor diferencial d r:
drdy = ddy(1 - y^2) i + ddy y j + ddy y^2 k = -2y i + j + 2y k
Então:
d r = (-2y i + j + 2y k) dy
Passo 4
Precisamos agora expressar o campo vetorial F na parametrização da curva gamma. Substituindo x = 1 - y^2 e z = y^2 em F:
F(x, y, z) = (-2y + e^sin(1 - y^2)) i + (-y^2 + y) j + ((1 - y^2)^3 + e^sin(y^2)) k
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot d r:
F cdot d r = (-2y + e^sin(1 - y^2))(-2y) + (-y^2 + y)(1) + ((1 - y^2)^3 + e^sin(y^2))(2y)
Agora, integramos essa expressão em relação a y. Porém, ao olhar para os termos envolvendo exponenciais e polinomiais de alta ordem, percebemos que a integral pode ser bastante complicada. Para simplificar, vamos verificar se o campo F é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial phi tal que F = nabla phi . Se for conservativo, a integral de linha depende apenas dos extremos da curva.
Calculando o rotacional de F:
nabla times F = ( partial Fkpartial y - partial Fjpartial z ) i + ( partial Fipartial z - partial Fkpartial x ) j + ( partial Fjpartial x - partial Fipartial y ) k
Após calcular as derivadas parciais, se o rotacional for zero, F é conservativo.
Após cálculos, constatamos que o rotacional não é zero, então F não é conservativo e devemos prosseguir com a parametrização e integrar diretamente.
Passo 7
Voltando à integral:
integralgamma F cdot d r = integraly0^y1 [4y^2 - 2y e^sin(1 - y^2) - y^2 + y + 2y (1 - y^2)^3 + 2y e^sin(y^2)] dy
Para resolver essa integral, precisaríamos definir os limites de y. Porém, como a curva gamma é uma parábola infinita, a integral não converge a menos que tenhamos limites específicos. Supondo que a curva seja fechada ou tenha limites dados, podemos proceder com a integração numérica ou analítica conforme os limites.
Resposta
A integral de linha integralgamma F cdot d r depende dos limites específicos de y. Com os limites definidos, a integração dos termos obtidos no Passo 6 resultará no valor final da integral.