Seja S a parte do cone 2 z^2=x^2+y^2 acima do plano- x y e abaixo do plano z=1, orientada com campo normal unitário apontando para baixo e seja C, a fronteira de S, com orientação induzida pela orientação de S. Dado o campo de vetores
F(x, y, z)=(2 y z) i+(x y) k
Calcule a circulação de F ao longo de C usando o Teorema de Stokes.

Passo 1

O enunciado pede a circulação de vec F(x,y,z)=(2yz,0,xy) ao longo de C, fronteira do pedaço de cone
2z^2 = x^2 + y^2, 0<= z<=1,
orientado pelo versor normal unitário apontando para baixo. Vamos usar o Teorema de Stokes:
ointC vec Fcdot dvec r ;=;integral duplaS (nablatimesvec F)cdotvec n,dS

Passo 2

Calculamos o rotacional de vec F. Como vec F=(F1,F2,F3)=(2yz,0,xy),
nablatimesvec F =l(partialyF3-partialzF2,;partialzF1-partialxF3,;partialxF2-partialyF1r) =(x,;y,;-2z)

Passo 3

Parametrizamos o cone em coordenadas cilíndricas:
x=rcostheta, y=rsintheta, z= rraiz2,
com thetain[0,2pi], rin[0,raiz2]. Calculamos
Phir=(costheta,sintheta,1/raiz2), Phitheta=(-rsintheta,rcostheta,0)
O vetor normal orientado para baixo é PhithetatimesPhir, resultando em
vec n,dS =l(rcostheta/raiz2,;rsintheta/raiz2,;-rr),dr,dtheta

Passo 4

Em cada ponto nablatimesvec F=(rcostheta,rsintheta,-raiz2,r). O produto escalar é
(nablatimesvec F)cdot(vec n,dS) =l(rcostheta,;rsintheta,;-raiz2,rr)cdot l(tfracrcosthetaraiz2,,tfracrsinthetaraiz2,,-rr),dr,dtheta =3raiz2,r^2,dr,dtheta
Integramos em rin[0,raiz2] e thetain[0,2pi]:
integral duplaS(nablatimesvec F)cdotvec n,dS =integral0^2pi!!integral0^raiz23raiz2,r^2,dr,dtheta =3raiz2cdot(raiz2)^33cdot2pi =4pi

Resposta

A circulação de vec F ao longo de C é 4pi.

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