Calcule
onde
consite no segmento de reta de
até
seguido pelo arco de parábola
de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é um pouco mais complicada, mas vou te ajudar passo a passo. O enunciado pede para calcular
onde
é o caminho fechado que começa no ponto
, vai até
por uma reta, e depois retorna para
seguindo a parábola
.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha sobre um caminho fechado a integrais duplas sobre a região limitada por esse caminho. Precisamos conhecer um pouquinho de cálculo vetorial para isso, mas vou explicar conforme a gente for avançando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Green nos diz. Ele afirma que para uma curva fechada
e uma região
limitada por
,
No nosso caso, temos
e
. Então, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
Passo 4
Agora, precisamos definir a região
limitada pelo caminho
. O caminho é composto por uma reta de
até
e, em seguida, pela parábola
de
de volta para
.
Visualmente,
é a área entre a linha reta
e a parábola
, para
entre
e
.
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla sobre
:
Para facilitar a integração, vamos integrar em ordem de
primeiro e depois
. Para cada
entre
e
,
varia de
até
.
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Primeiro, resolvemos a primeira integral:
Passo 7
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Simplificando:
Passo 8
Juntando tudo, nossa integral dupla fica:
Vamos agora resolver cada uma dessas integrais. Note que a primeira integral é uma função ímpar (
multiplicado por algo par em
), então seu valor será zero devido à simetria em relação ao eixo
:
Passo 9
Ficou só a segunda parte:
Vamos calcular essa integral termo a termo:
Passo 10
Vamos calcular cada integral:
-
-
: Essa integral pode ser resolvida por partes ou reconhecendo que a função é par, então podemos multiplicar por 2:
Usando integração por partes duas vezes, chega-se a
avaliado de 0 a 1:
-
: Similarmente, a função é par, então:
Resolvendo por partes, obtemos
avaliado de 0 a 1:
Passo 11
Agora, juntando tudo:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o valor da integral é