Calcule
ointC y^2 e^x d x+x^2 e^y d y
onde C consite no segmento de reta de (-1,1) até (1,1) seguido pelo arco de parábola y=2-x^2 de (1,1) a (-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é um pouco mais complicada, mas vou te ajudar passo a passo. O enunciado pede para calcular
ointC y^2 e^x , dx + x^2 e^y , dy
onde C é o caminho fechado que começa no ponto (-1,1), vai até (1,1) por uma reta, e depois retorna para (-1,1) seguindo a parábola y = 2 - x^2 .
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha sobre um caminho fechado a integrais duplas sobre a região limitada por esse caminho. Precisamos conhecer um pouquinho de cálculo vetorial para isso, mas vou explicar conforme a gente for avançando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Green nos diz. Ele afirma que para uma curva fechada C e uma região D limitada por C ,
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
No nosso caso, temos P = y^2 e^x e Q = x^2 e^y . Então, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Vamos calcular partial Qpartial x e partial Ppartial y :
partial Qpartial x = partialpartial x ( x^2 e^y ) = 2x e^y
partial Ppartial y = partialpartial y ( y^2 e^x ) = 2y e^x
Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
ointC y^2 e^x , dx + x^2 e^y , dy = integral duplaD ( 2x e^y - 2y e^x ) , dx , dy

Passo 4

Agora, precisamos definir a região D limitada pelo caminho C . O caminho é composto por uma reta de (-1,1) até (1,1) e, em seguida, pela parábola y = 2 - x^2 de (1,1) de volta para (-1,1).
Visualmente, D é a área entre a linha reta y = 1 e a parábola y = 2 - x^2 , para x entre -1 e 1.

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla sobre D :
integral duplaD ( 2x e^y - 2y e^x ) , dx , dy
Para facilitar a integração, vamos integrar em ordem de y primeiro e depois x . Para cada x entre -1 e 1, y varia de y =1 até y =2 - x^2 .
Então, a integral fica:
integralx=-1^1 integraly=1^2 - x^2 ( 2x e^y - 2y e^x ) , dy , dx

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
2 integral-1^1 integral1^2 - x^2 x e^y , dy , dx - 2 integral-1^1 integral1^2 - x^2 y e^x , dy , dx
Primeiro, resolvemos a primeira integral:
2 integral-1^1 x [ e^y ]1^2 - x^2 , dx = 2 integral-1^1 x ( e^2 - x^2 - e^1 ) , dx

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda integral:
-2 integral-1^1 e^x [ y^22 ]1^2 - x^2 , dx = -2 integral-1^1 e^x ( (2 - x^2)^22 - 12 ) , dx
Simplificando:
-2 integral-1^1 e^x ( (4 - 4x^2 + x^4) - 12 ) , dx = -2 integral-1^1 e^x ( 3 - 4x^2 + x^42 ) , dx

Passo 8

Juntando tudo, nossa integral dupla fica:
2 integral-1^1 x ( e^2 - x^2 - e ) , dx - 2 integral-1^1 e^x ( 3 - 4x^2 + x^42 ) , dx
Vamos agora resolver cada uma dessas integrais. Note que a primeira integral é uma função ímpar ( x multiplicado por algo par em x ), então seu valor será zero devido à simetria em relação ao eixo y :
2 integral-1^1 x ( e^2 - x^2 - e ) , dx = 0

Passo 9

Ficou só a segunda parte:
-2 times 12 integral-1^1 e^x (3 - 4x^2 + x^4) , dx = - integral-1^1 e^x (3 - 4x^2 + x^4) , dx
Vamos calcular essa integral termo a termo:
- [ 3 integral-1^1 e^x , dx - 4 integral-1^1 x^2 e^x , dx + integral-1^1 x^4 e^x , dx ]

Passo 10

Vamos calcular cada integral:
  1. integral-1^1 e^x , dx = e^1 - e^-1
  2. integral-1^1 x^2 e^x , dx : Essa integral pode ser resolvida por partes ou reconhecendo que a função é par, então podemos multiplicar por 2:
2 integral0^1 x^2 e^x , dx
Usando integração por partes duas vezes, chega-se a e^x (x^2 - 2x + 2) avaliado de 0 a 1:
2 [ e (1 - 2 + 2) - (0 - 0 + 2) ] = 2 (e - 2)
  1. integral-1^1 x^4 e^x , dx : Similarmente, a função é par, então:
2 integral0^1 x^4 e^x , dx
Resolvendo por partes, obtemos e^x (x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 24x + 24) avaliado de 0 a 1:
2 [ e (1 - 4 + 12 - 24 + 24) - 24 ] = 2 (e (9) - 24) = 18 e - 48

Passo 11

Agora, juntando tudo:
- [ 3 (e - e^-1) - 4 (2 (e - 2)) + (18 e - 48) ] = - [ 3e - 3 e^-1 - 8e + 16 + 18e - 48 ]
Simplificando:
- [ (3e - 8e + 18e) + (-3 e^-1) + (16 - 48) ] = - [ 13e - 3 e^-1 - 32 ] = -13e + 3 e^-1 + 32

Resposta

Portanto, o valor da integral é
-13 e + 3 e^-1 + 32

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