Seja a função u(x, t)=sen(x-a t)+ln (x+a t). Mostre que ela é solução da equação
partial^2 upartial t^2=a^2 partial^2 upartial x^2
chamada de equação da onda.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
u(x,t)=sin(x - a,t)+ln(x + a,t)
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação da onda
partial^2upartial t^2 = a^2,partial^2upartial x^2
O que vamos precisar é apenas calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem em x e t e verificar a igualdade.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de u em relação a x. Como
partialpartial xsin(x - a,t) = cos(x - a,t), partialpartial xln(x + a,t) = 1x + a,t,
temos
ux = cos(x - a,t) + 1x + a,t

Passo 3

Agora tiramos a segunda derivada em x. Derivando de novo cada termo:
partialpartial xcos(x - a,t) = -sin(x - a,t), partialpartial x1x + a,t = -1(x + a,t)^2
Logo
uxx = -sin(x - a,t);-;1(x + a,t)^2

Passo 4

Calculamos a derivada parcial de u em relação a t. Como
partialpartial tsin(x - a,t) = -a,cos(x - a,t), partialpartial tln(x + a,t) = ax + a,t,
segue
ut = -a,cos(x - a,t) + ax + a,t

Passo 5

Para obter utt, derivamos de novo em t. Temos
partialpartial tl(-a,cos(x - a,t)r) = -al(-a,sin(x - a,t)r) = -a^2,sin(x - a,t),
partialpartial tax + a,t = al(-1r)a(x + a,t)^2 = -a^2(x + a,t)^2
Portanto
utt = -a^2,sin(x - a,t);-;a^2(x + a,t)^2

Passo 6

Comparemos utt com a^2uxx. Multiplicando uxx por a^2
a^2uxx = a^2l(-sin(x - a,t)-1(x + a,t)^2r) = -a^2,sin(x - a,t);-;a^2(x + a,t)^2
Isso coincide exatamente com utt. Logo
utt = a^2uxx,
ou seja, u(x,t) é solução da equação da onda.

Resposta

A função u(x,t)=sin(x-a,t)+ln(x+a,t) satisfaz
partial^2upartial t^2 = a^2,partial^2upartial x^2

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