Obtenha as derivadas parciais de terceira ordem indicadas, para cada função a seguir:
h(x, y, z)=x raizy-z, hx y z e hy z x

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de terceira ordem
hxyz=partial^3 hpartial z,partial y,partial x e
hyzx=partial^3 hpartial x,partial z,partial y
para a função
h(x,y,z)=xraizy-z
Vamos usar regra do produto e regra da cadeia, assumindo y-z>0 para garantir suavidade.

Passo 2

Calcular
hx=partialpartial xl[xraizy-zr],
hxy=partialpartial yhx e
hxyz=partialpartial zhxy.
hx = raizy-z
Derivando em relação a y:
hxy = partialpartial yl(raizy-zr) = 12raizy-z
Agora em relação a z:
hxyz = partialpartial zl(12(y-z)^1/2r) = 12cdotl(-tfrac12r)(y-z)^-3/2cdot(-1) = 14,(y-z)^3/2

Passo 3

Calcular
hy=partialpartial yh,
hyz=partialpartial zhy e
hyzx=partialpartial xhyz.
hy = xcdot12raizy-z = x2,(y-z)^1/2
Derivando em relação a z:
hyz = partialpartial zl(x2,(y-z)^1/2r) = x2cdotl(-tfrac12r)(y-z)^-3/2cdot(-1) = x4,(y-z)^3/2
E em relação a x:
hyzx = partialpartial xl(x4,(y-z)^3/2r) = 14,(y-z)^3/2

Passo 4

Observamos que
hxyz=14,(y-z)^3/2=;hyzx,
conforme garantia do teorema de igualdade de derivadas mistas.

Resposta

hxyz=14,(y-z)^3/2, hyzx=14,(y-z)^3/2

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