Determine a área máxima de um retângulo no primeiro quadrante com lados paralelos aos eixos cartesianos com um vértice na origem e o vértice oposto na curva
.
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a área máxima de um retângulo que está no primeiro quadrante do plano cartesiano. Esse retângulo tem um dos vértices na origem (0,0) e o vértice oposto está em uma curva dada pela equação
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização em cálculo, especificamente usando derivadas para encontrar valores máximos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a área desse retângulo. Como os lados são paralelos aos eixos, se o vértice oposto está em
, a largura do retângulo é
e a altura é
. Portanto, a área
do retângulo é:
Substituindo a equação da curva na expressão da área:
Passo 3
Agora, para encontrar a área máxima, precisamos derivar a função
em relação a
e encontrar onde essa derivada é zero. Isso nos dará os pontos críticos que podem ser máximos ou mínimos.
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada derivada separadamente:
-
- Para
, usamos a regra da cadeia:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar os pontos críticos, igualamos
a zero:
Como
nunca é zero, ficamos com:
Resolvendo para
:
Passo 7
Calculando o valor numérico de
:
Passo 8
Agora, substituímos
na equação da área para encontrar
:
Primeiro, calculamos o expoente:
Então:
Resposta
A área máxima é aproximadamente 7.20533, ou seja, a alternativa d.
.