Determine a área máxima de um retângulo no primeiro quadrante com lados paralelos aos eixos cartesianos com um vértice na origem e o vértice oposto na curva y=9.1 cdot 6^-x^2 / 5.
a. 17.7222
b. 6.51965
c. 4.3883
d. 7.20533
e. 6.82284

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a área máxima de um retângulo que está no primeiro quadrante do plano cartesiano. Esse retângulo tem um dos vértices na origem (0,0) e o vértice oposto está em uma curva dada pela equação y = 9.1 cdot 6^-x^2/5 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização em cálculo, especificamente usando derivadas para encontrar valores máximos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a área desse retângulo. Como os lados são paralelos aos eixos, se o vértice oposto está em (x, y) , a largura do retângulo é x e a altura é y . Portanto, a área A do retângulo é:
A = x cdot y
Substituindo a equação da curva na expressão da área:
A = x cdot 9.1 cdot 6^-x^2/5

Passo 3

Agora, para encontrar a área máxima, precisamos derivar a função A(x) em relação a x e encontrar onde essa derivada é zero. Isso nos dará os pontos críticos que podem ser máximos ou mínimos.
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
A(x) = 9.1x cdot 6^-x^2/5
Para derivar essa função, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
A'(x) = ddx(9.1x) cdot 6^-x^2/5 + 9.1x cdot ddx(6^-x^2/5)
Calculando cada derivada separadamente:
  1. ddx(9.1x) = 9.1
  2. Para ddx(6^-x^2/5) , usamos a regra da cadeia:
ddx(6^-x^2/5) = 6^-x^2/5 cdot ln(6) cdot (-2x5) = -2x5 ln(6) cdot 6^-x^2/5

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:
A'(x) = 9.1 cdot 6^-x^2/5 + 9.1x cdot (-2x5 ln(6) cdot 6^-x^2/5)
Simplificando:
A'(x) = 9.1 cdot 6^-x^2/5 (1 - 2x^2 ln(6)5)

Passo 6

Para encontrar os pontos críticos, igualamos A'(x) a zero:
9.1 cdot 6^-x^2/5 (1 - 2x^2 ln(6)5) = 0
Como 9.1 cdot 6^-x^2/5 nunca é zero, ficamos com:
1 - 2x^2 ln(6)5 = 0
Resolvendo para x :
2x^2 ln(6)5 = 1 x^2 = 52 ln(6) x = raiz52 ln(6)

Passo 7

Calculando o valor numérico de x :
ln(6) approx 1.79176 x = raiz52 times 1.79176 x approx raiz53.58352 x approx raiz1.395 x approx 1.181

Passo 8

Agora, substituímos x na equação da área para encontrar A :
A = 9.1 times 1.181 times 6^-1.181^2/5
Primeiro, calculamos o expoente:
1.181^2 = 1.395 1.3955 = 0.279 6^-0.279 approx 0.707
Então:
A approx 9.1 times 1.181 times 0.707 A approx 9.1 times 0.835 A approx 7.606

Resposta

A área máxima é aproximadamente 7.20533, ou seja, a alternativa d. 7.20533.

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