Calcule d zd t onde z=e^r cos (theta) e r(t)=s t e theta(t)=raizs^2+t^2

Passo 1

O enunciado dá
z = e^rcos(theta),
com as parametrizações
r(t)=s,t e theta(t)=raizs^2+t^2,
e pede dfracdzdt.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de z(r,theta):
partial zpartial r = partialpartial rl(e^rcos(theta)r) = e^rcos(theta),
partial zpartial theta = partialpartial thetal(e^rcos(theta)r) = -,e^rsin(theta)

Passo 3

Agora, derivamos as parametrizações em relação a t:
drdt = ddt(s,t) = s,
dthetadt = ddtl(raizs^2+t^2r) = traizs^2+t^2

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia,
dzdt = partial zpartial r,drdt + partial zpartial theta,dthetadt,
substituindo os resultados,
dzdt = e^rcos(theta),s ;+; l(-e^rsin(theta)r),traizs^2+t^2
Como r=st e theta=raizs^2+t^2, isso fica
dzdt = e^stl[scosl(raizs^2+t^2r) - traizs^2+t^2,sinl(raizs^2+t^2r)r]

Resposta

dzdt = e^stl[scosl(raizs^2+t^2r) - traizs^2+t^2,sinl(raizs^2+t^2r)r]

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