Seja
diferenciável e considere
(a)
Suponha que
. Calcule
sendo
.
(b)* Suponha que
mostre que
é constante sobre a elipse
(a)
(b)* Suponha que
Passo 1
O enunciado nos dá uma função diferenciável
e define
Na parte (a) assumimos
e queremos derivar
Para isso vamos usar a regra da cadeia em duas variáveis.
Passo 2
Aplicando a regra da cadeia, temos
Como
e
,
Passo 3
Agora usamos a hipótese
. Avaliando em
,
Dividindo essa igualdade por
, fica
Passo 4
Observe que
Logo sob a condição
, concluímos
Passo 5
Para a parte (b), repetimos o mesmo raciocínio mas agora com
. Então
e, pela fórmula do passo 2,
Como
, a função
é constante. Mas
descreve toda a elipse
. Logo
vale o mesmo número em todos os pontos dessa elipse, ou seja, é constante sobre ela.
Resposta
(a)
.
(b) é constante sobre a elipse
.
(b)