Seja f: R^2 R diferenciável e considere h(x, y)=4 y partial fpartial x(x, y)-x partial fpartial y(x, y)
(a) ^* Suponha que h(x, y)=2. Calcule g^prime(t) sendo g(t)=f(2 cos (t), sin (t)).
(b)* Suponha que h(x, y)=0 mostre que f é constante sobre a elipse x^24+y^2=1

Passo 1

O enunciado nos dá uma função diferenciável f: R^2to R e define
h(x,y)=4y,partial fpartial x(x,y)-x,partial fpartial y(x,y)
Na parte (a) assumimos h(x,y)=2 e queremos derivar
g(t)=fl(2cos t,;sin tr)
Para isso vamos usar a regra da cadeia em duas variáveis.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, temos
g'(t) =partial fpartial x(2cos t,sin t),ddt(2cos t) +partial fpartial y(2cos t,sin t),ddt(sin t)
Como tfracddt(2cos t)=-2sin t e tfracddt(sin t)=cos t,
g'(t) =-2sin t;partial fpartial x(2cos t,sin t) +cos t;partial fpartial y(2cos t,sin t)

Passo 3

Agora usamos a hipótese h(x,y)=2. Avaliando em l(x,yr)=(2cos t,sin t),
h(2cos t,sin t) =4sin t,fx(2cos t,sin t) -2cos t,fy(2cos t,sin t) =2
Dividindo essa igualdade por 2, fica
2sin t,fx(2cos t,sin t) -cos t,fy(2cos t,sin t) =1

Passo 4

Observe que
g'(t) =-l[2sin t,fx(2cos t,sin t) -cos t,fy(2cos t,sin t)r] =-1
Logo sob a condição h=2, concluímos
g'(t)=-1para todo t

Passo 5

Para a parte (b), repetimos o mesmo raciocínio mas agora com h(x,y)=0. Então
2sin t,fx(2cos t,sin t) -cos t,fy(2cos t,sin t) =0
e, pela fórmula do passo 2,
g'(t) =-l[2sin t,fx(2cos t,sin t) -cos t,fy(2cos t,sin t)r] =0
Como g'(t)=0, a função g(t)=f(2cos t,sin t) é constante. Mas l(2cos t,sin tr) descreve toda a elipse x^24+y^2=1. Logo f vale o mesmo número em todos os pontos dessa elipse, ou seja, é constante sobre ela.

Resposta

(a) g'(t)=-1.
(b) f é constante sobre a elipse tfracx^24+y^2=1.

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