Dado A um vetor qualquer em R^3 e r o vetor posição, verifique que
(A cdot nabla) r=A,
usando coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em R^3, para um vetor arbitrário vec A e o vetor posição vec r, vale
(vec Acdotnabla),vec r = vec A
O conteúdo usado aqui é cálculo vetorial em coordenadas esféricas: precisamos da forma de vec r, de vec A e do operador nabla nessas coordenadas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas escrevemos
vec r = r,hat er, vec A = Ar,hat er + Atheta,hat etheta + Aphi,hat ephi,
e o operador gradiente é
nabla = hat er partialpartial r + 1r,hat etheta partialpartial theta + 1rsintheta,hat ephi partialpartial phi

Passo 3

Aplicando vec Acdotnabla sobre vec r, obtemos
(vec Acdotnabla),vec r = Ar,partialpartial r(r,hat er) + Athetar,partialpartial theta(r,hat er) + Aphirsintheta,partialpartial phi(r,hat er)

Passo 4

Agora calculamos cada derivada de forma sistemática:
Para o primeiro termo,
partialpartial r(r,hat er) = hat er (pois partialhat er/partial r=0),
logo ele vale Ar,hat er.
Para o segundo termo,
partialpartial theta(r,hat er) = r,partialhat erpartial theta = r,hat etheta (pois partialhat er/partial theta=hat etheta),
e assim ele vale tfracAthetarcdot r,hat etheta = Atheta,hat etheta.
Para o terceiro termo,
partialpartial phi(r,hat er) = r,partialhat erpartial phi = rsintheta,hat ephi (pois partialhat er/partial phi=sintheta,hat ephi),
que resulta em tfracAphirsinthetacdot rsintheta,hat ephi = Aphi,hat ephi.

Passo 5

Somando os três resultados achamos
Ar,hat er + Atheta,hat etheta + Aphi,hat ephi = vec A

Resposta

vec A

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