Calcule integralC nabla f cdot d r, onde f(x, y)=y e^x^2-1+4 x raizy, onde a curva é dada por C: r(t)=(1-t, 2 t^2-2 t), no intervalo t in[0,3].

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integralCnabla fcdot dvec r
onde
f(x,y)=y,e^x^2-1+4xraizy
e a curva C é dada pela parametrização
vec r(t)=(1-t,;2t^2-2t), tin[0,3].
O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos (campo gradiente).

Passo 2

Como nabla f é gradiente de f e f tem derivadas parciais contínuas, o campo é conservativo. Pelo Teorema Fundamental:
integralCnabla fcdot dvec r = fl(vec r(3)r)-fl(vec r(0)r)

Passo 3

Calcular os pontos extremos da parametrização:
vec r(0)=(1,0), vec r(3)=(1-3,;2cdot3^2-2cdot3)=(-2,12)

Passo 4

Avaliar f nesses pontos:
f(1,0)=0cdot e^1-1+4cdot1cdotraiz0=0,
f(-2,12) =12,e^(-2)^2-1+4cdot(-2),raiz12 =12,e^3-8cdotraiz12 =12,e^3-16raiz3

Passo 5

Aplicando a diferença:
integralCnabla fcdot dvec r =f(-2,12)-f(1,0) =12,e^3-16raiz3-0 =12,e^3-16raiz3

Resposta

12,e^3-16raiz3

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