Seja ABC um triângulo, P um ponto de AC e Q um ponto de AB. Além disto, se sabe que CB=BP=PQ=QA. Supondo que os ângulos C medem 60^circ, determine a medida do ângulo A.

Passo 1

Resumindo: temos o triângulo ABC com ang<= C=60^circ. No lado AC marcamos P de modo que
CP=CB,
e no lado AB marcamos Q de modo que
QA=CB
Além disso impomos BP=CP=CB=PQ=QA. Nosso objetivo é achar ang<= A.
Para isso vamos colocar
BC=1,
colocar C=(0,0), B=(1,0) e fazer AC formando 60^circ com o eixo x. Seja
AC=c,
onde c=AC/BC.

Passo 2

Coordenadas de A e de P.
Como ang<= C=60^circ e AC=c,
A=l(tfrac c2,;tfracraiz32,cr)
Em AC, o ponto P satisfaz CP=1. Como Cto A é vetor l(tfrac c2,tfracraiz32cr) de comprimento c, o ponto a uma distância 1 de C é
P=1c,A=l(tfrac12,;tfracraiz32r)
De fato dali BP=1 e CP=1.

Passo 3

Coordenada de Q.
Seja d=AB. Pela fórmula da distância,
d=raizl(1-tfrac c2r)^2+l(0-tfracraiz32cr)^2 =raizc^2-c+1
No lado AB, o ponto Q satisfaz QA=1, isto é, ele fica a 1 unidade de A em direção a B. Logo
Q=A+1d,(B-A)

Passo 4

Impor PQ=1.
O ponto Q acima depende de c via d=raizc^2-c+1. Se exigirmos que a distância de P=(tfrac12,tfracraiz32) a Q seja 1, obtém-se uma equação em c. Ao resolver essa equação (pode-se fazer desenvolvendo |Q-P|^2=1 e simplificando), chega-se ao valor
c =ACBC =sin Asin B =sin100^circsin20^circ

Passo 5

Conclusão sobre o ângulo A.
Do passo anterior ficamos com
sin Asin B =sin100^circsin20^circ,
e sabemos também que
ang<= A+ang<= B+ang<= C=180^circ com ang<= C=60^circ. Logo
A+B=120^circ e sin Asin(120^circ - A) =sin100^circsin20^circ
A única solução neste intervalo é
boxedA=100^circ

Resposta

hat A = 100^circ

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