Seja
um triângulo,
um ponto de
e
um ponto de
. Além disto, se sabe que
. Supondo que os ângulos
medem
, determine a medida do ângulo
.
Passo 1
Resumindo: temos o triângulo
com
. No lado
marcamos
de modo que
e no lado
marcamos
de modo que
Além disso impomos
. Nosso objetivo é achar
.
Para isso vamos colocar
Para isso vamos colocar
colocar
,
e fazer
formando
com o eixo
. Seja
onde
.
Passo 2
Coordenadas de
e de
.
Como e
,
Como
Em
, o ponto
satisfaz
. Como
é vetor
de comprimento
, o ponto a uma distância
de
é
De fato dali
e
.
Passo 3
Coordenada de
.
Seja . Pela fórmula da distância,
Seja
No lado
, o ponto
satisfaz
, isto é, ele fica a
unidade de
em direção a
. Logo
Passo 4
Impor
.
O ponto acima depende de
via
. Se exigirmos que a distância de
a
seja
, obtém-se uma equação em
. Ao resolver essa equação (pode-se fazer desenvolvendo
e simplificando), chega-se ao valor
O ponto
Passo 5
Conclusão sobre o ângulo
.
Do passo anterior ficamos com
Do passo anterior ficamos com
e sabemos também que
com
. Logo
A única solução neste intervalo é