Representação gráfica de parábolas no plano
Parábola com vértice na origem O(0,0) e eixo dos x ou eixo dos y como eixo de simetria (eixo da parábola): Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar foco, vértice, reta diretriz, eixo da parábola e construir o gráfico.
x^2=8 y

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente precisa representar graficamente uma parábola no plano cartesiano. A parábola tem o vértice na origem, ou seja, no ponto O(0,0), e o eixo de simetria pode ser o eixo dos x ou o dos y. A equação que a gente tem é x^2=8 y. Vamos precisar reduzir essa equação para a forma canônica da parábola, identificar o foco, o vértice, a reta diretriz, o eixo da parábola e, por fim, desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma canônica de uma parábola. Quando o vértice está na origem e o eixo de simetria é o eixo dos y, a forma padrão da equação é x^2=4 p y, onde p é a distância do vértice até o foco e também do vértice até a diretriz.

Passo 3

Agora, vamos comparar a equação que temos, x^2=8 y, com a forma canônica x^2=4 p y. Observando os coeficientes, podemos ver que 4 p = 8. Então, para encontrar p, dividimos ambos os lados por 4:
p = 84 = 2

Passo 4

Com o valor de p encontrado, podemos identificar os elementos da parábola:
  • Vértice: Já sabemos que está na origem, então V(0,0).
  • Foco: Está a uma distância p acima do vértice no eixo de simetria. Como p = 2, o foco fica em F(0,2).
  • Reta diretriz: É uma linha paralela ao eixo de simetria e fica a uma distância p do vértice, mas do lado oposto do foco. Então, a diretriz é a reta y = -2.
  • Eixo da parábola: É o eixo de simetria, que nesse caso é o eixo dos y.

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico da parábola:
  1. Marque o vértice em O(0,0).
  2. Plote o foco em F(0,2).
  3. Desenhe a diretriz como uma linha horizontal passando por y = -2.
  4. Como o eixo de simetria é o eixo dos y, a parábola abre para cima.
  5. A partir do vértice, desenhe a curva simétrica em relação ao eixo dos y que se aproxima da diretriz e do foco conforme se afastam do vértice.

Resposta

A parábola x^2=8 y tem vértice em (0,0), foco em (0,2), reta diretriz y = -2, eixo de simetria no eixo dos y e abre para cima. O gráfico é uma curva simétrica em relação ao eixo dos y, passando pelo foco e aproximando-se da diretriz.

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