Determine o trabalho realizado pelo campo F(x, y)=(x^2+y) i+(y^2+x) j para mover uma partícula ao longo da circunferência x^2+y^2=4 do ponto (0,2) até (2,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial F(x, y) = (x^2+y) i + (y^2+x) j ao mover uma partícula ao longo de uma circunferência x^2+y^2=4 do ponto (0,2) até (2,0) . O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo Vetorial, especificamente o conceito de trabalho realizado por um campo vetorial através de uma integral de linha. Vamos precisar parametrizar o caminho e calcular a integral correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a circunferência x^2+y^2=4 . Sabemos que uma circunferência de raio 2 pode ser descrita por:
x = 2 cos theta
y = 2 sin theta
onde theta varia de 0 a pi2 para mover da posição (0,2) até (2,0) .

Passo 3

Agora, vamos calcular os diferenciais dx e dy em termos de theta :
dx = ddtheta(2 cos theta) = -2 sin theta , dtheta
dy = ddtheta(2 sin theta) = 2 cos theta , dtheta

Passo 4

Substituímos a parametrização no campo F(x, y) :
F(x, y) = ((2 cos theta)^2 + 2 sin theta) i + ((2 sin theta)^2 + 2 cos theta) j
Simplificando:
F(theta) = (4 cos^2 theta + 2 sin theta) i + (4 sin^2 theta + 2 cos theta) j

Passo 5

Para calcular o trabalho, usamos a integral de linha:
W = integralC F cdot dr
Onde dr = dx i + dy j . Substituindo:
W = integral0^pi2 [ (4 cos^2 theta + 2 sin theta)(-2 sin theta) + (4 sin^2 theta + 2 cos theta)(2 cos theta) ] dtheta

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
W = integral0^pi2 [ -8 cos^2 theta sin theta - 4 sin^2 theta + 8 sin^2 theta cos theta + 4 cos^2 theta ] dtheta
Agrupando termos semelhantes:
W = integral0^pi2 [ (-8 cos^2 theta sin theta + 8 sin^2 theta cos theta) + (-4 sin^2 theta + 4 cos^2 theta) ] dtheta
Fatorando termos:
W = integral0^pi2 [ 8 cos theta sin theta (sin theta - cos theta) + 4 (cos^2 theta - sin^2 theta) ] dtheta

Passo 7

Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeira parte:
integral0^pi2 8 cos theta sin theta (sin theta - cos theta) dtheta
Que pode ser expandida para:
8 integral0^pi2 (cos theta sin^2 theta - cos^2 theta sin theta) dtheta
Usando substituições:
8 ( integral0^pi2 cos theta sin^2 theta dtheta - integral0^pi2 cos^2 theta sin theta dtheta )
Resolvendo essas integrais:
8 ( 13 - 13 ) = 0
Segunda parte:
4 integral0^pi2 (cos^2 theta - sin^2 theta) dtheta
Sabemos que cos^2 theta - sin^2 theta = cos 2theta , então:
4 integral0^pi2 cos 2theta dtheta = 4 [ sin 2theta2 ]0^pi2 = 4 ( sin pi2 - sin 02 ) = 0

Resposta

O trabalho realizado pelo campo é 0 unidades de trabalho.

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