Determine o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo da circunferência
do ponto
até
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial
ao mover uma partícula ao longo de uma circunferência
do ponto
até
. O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo Vetorial, especificamente o conceito de trabalho realizado por um campo vetorial através de uma integral de linha. Vamos precisar parametrizar o caminho e calcular a integral correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a circunferência
. Sabemos que uma circunferência de raio 2 pode ser descrita por:
onde
varia de
a
para mover da posição
até
.
Passo 3
Agora, vamos calcular os diferenciais
e
em termos de
:
Passo 4
Substituímos a parametrização no campo
:
Simplificando:
Passo 5
Para calcular o trabalho, usamos a integral de linha:
Onde
. Substituindo:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agrupando termos semelhantes:
Fatorando termos:
Passo 7
Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeira parte:
Que pode ser expandida para:
Usando substituições:
Resolvendo essas integrais:
Segunda parte:
Sabemos que
, então:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo é
unidades de trabalho.