Calcule integralC(1-x y) d s onde C é a curva interseção da esfera x^2+y^2+z^2=3 com o plano x+y=2,
Escolha uma opção:
C
3 pi2
0
pi3
pi2
pi2
C
pi
C
2 pi3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha integralC(1 - xy) , ds, onde C é a curva formada pela interseção da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 3 com o plano x + y = 2. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e cálculo de integrais em curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva C. Ela é a interseção entre uma esfera e um plano. Quando a gente junta esses dois, o resultado geralmente é um círculo. Então, C é um círculo que está tanto na esfera de raio raiz3 quanto no plano x + y = 2.

Passo 3

Para calcular a integral de linha, precisamos parametrizar a curva C. Vamos escolher uma parametrização que facilite nossos cálculos. Como C é um círculo, podemos usar coordenadas polares em relação ao plano x + y = 2.
Vamos primeiro reescrever o plano x + y = 2 para facilitar a parametrização. Podemos resolver para y em função de x: y = 2 - x.

Passo 4

Agora, substituímos y = 2 - x na equação da esfera para encontrar as coordenadas do círculo:
x^2 + (2 - x)^2 + z^2 = 3
Simplificando:
x^2 + 4 - 4x + x^2 + z^2 = 3 2x^2 - 4x + z^2 + 4 = 3 2x^2 - 4x + z^2 + 1 = 0

Passo 5

Vamos completar o quadrado para x:
2x^2 - 4x = 2(x^2 - 2x) = 2[(x - 1)^2 - 1] = 2(x - 1)^2 - 2
Substituindo de volta:
2(x - 1)^2 - 2 + z^2 + 1 = 0 2(x - 1)^2 + z^2 - 1 = 0 2(x - 1)^2 + z^2 = 1

Passo 6

Essa equação representa um círculo com centro em (1, qualquer , 0) e raio 1raiz2 no plano x + y = 2. Para parametrizar, vamos usar um ângulo theta que varia de 0 a 2pi:
x = 1 + 1raiz2 cos theta y = 2 - x = 1 - 1raiz2 cos theta z = 1raiz2 sin theta

Passo 7

Agora, precisamos calcular ds, que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos as derivadas das coordenadas em relação a theta:
dxdtheta = -1raiz2 sin theta dydtheta = 1raiz2 sin theta dzdtheta = 1raiz2 cos theta
Então,
ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 + (dzdtheta)^2 , dtheta = raiz(-1raiz2 sin theta)^2 + (1raiz2 sin theta)^2 + (1raiz2 cos theta)^2 , dtheta = raiz12 sin^2 theta + 12 sin^2 theta + 12 cos^2 theta , dtheta = raizsin^2 theta + 12 cos^2 theta , dtheta
Isso fica um pouco complicado, então vamos simplificar observando que:
ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 + (dzdtheta)^2 , dtheta = raiz12 (sin^2 theta + sin^2 theta + cos^2 theta) , dtheta = raiz12 (2 sin^2 theta + cos^2 theta) , dtheta
= raizsin^2 theta + 12 cos^2 theta , dtheta
No entanto, para simplificar nossos cálculos, percebemos que o raio do círculo é 1raiz2, então o comprimento total da curva é 2pi times 1raiz2 = raiz2 pi. Mas vamos continuar com a parametrização para integrar a função 1 - xy.

Passo 8

Agora, vamos substituir as parametrizações de x, y e z na função que vamos integrar:
1 - xy = 1 - (1 + 1raiz2 cos theta)(1 - 1raiz2 cos theta) = 1 - (1 - (1raiz2 cos theta)^2) = 1 - (1 - 12 cos^2 theta) = 12 cos^2 theta

Passo 9

Agora, nossa integral fica:
integralC (1 - xy) , ds = integral0^2pi 12 cos^2 theta times raizsin^2 theta + 12 cos^2 theta , dtheta
Essa integral parece complicada, mas podemos simplificar observando que devido à simetria do círculo, a média de cos^2 theta ao longo de 0 a 2pi é 12. Portanto:
integralC (1 - xy) , ds = 12 times Comprimento de C times 12 = 14 times raiz2 pi = raiz24 pi
Simplificando:
raiz24 pi = pi2 raiz2 = pi raiz24

Resposta

A integral vale dfracpi2raiz2.

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