Calcule
onde
é a curva interseção da esfera
com o plano
,
Escolha uma opção:
C
0
C
C
Escolha uma opção:
C
0
C
C
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
, onde
é a curva formada pela interseção da esfera
com o plano
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e cálculo de integrais em curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a curva
. Ela é a interseção entre uma esfera e um plano. Quando a gente junta esses dois, o resultado geralmente é um círculo. Então,
é um círculo que está tanto na esfera de raio
quanto no plano
.
Passo 3
Para calcular a integral de linha, precisamos parametrizar a curva
. Vamos escolher uma parametrização que facilite nossos cálculos. Como
é um círculo, podemos usar coordenadas polares em relação ao plano
.
Vamos primeiro reescrever o plano
para facilitar a parametrização. Podemos resolver para
em função de
:
.
Passo 4
Agora, substituímos
na equação da esfera para encontrar as coordenadas do círculo:
Simplificando:
Passo 5
Vamos completar o quadrado para
:
Substituindo de volta:
Passo 6
Essa equação representa um círculo com centro em
e raio
no plano
. Para parametrizar, vamos usar um ângulo
que varia de
a
:
Passo 7
Agora, precisamos calcular
, que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos as derivadas das coordenadas em relação a
:
Então,
Isso fica um pouco complicado, então vamos simplificar observando que:
No entanto, para simplificar nossos cálculos, percebemos que o raio do círculo é
, então o comprimento total da curva é
. Mas vamos continuar com a parametrização para integrar a função
.
Passo 8
Agora, vamos substituir as parametrizações de
,
e
na função que vamos integrar:
Passo 9
Agora, nossa integral fica:
Essa integral parece complicada, mas podemos simplificar observando que devido à simetria do círculo, a média de
ao longo de
a
é
. Portanto:
Simplificando:
Resposta
A integral vale
.