Estamos trabalhando no retângulo onde 0 < x < 3 e 0 < y < 2. As condições de contorno nos dizem como a função u(x, y) se comporta nas bordas desse retângulo:
Nas bordas y = 0 e y = 2, u é zero.
Na borda x = 0, u também é zero.
Na borda x = 3, u é igual a uma função k(y), que é definida em partes.
Para resolver isso, vamos precisar usar separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, aplicamos o método de separação de variáveis, que assume que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que só depende de x e outra que só depende de y:
u(x, y) = X(x) Y(y)
Substituindo isso na equação de Laplace:
X''(x) Y(y) + X(x) Y''(y) = 0
Dividindo ambos os lados por X(x) Y(y):
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
Isso nos leva a igualar cada parte a uma constante negativa, que vamos chamar de -lambda:
X''(x)X(x) = -lambda e Y''(y)Y(y) = lambda
Passo 3
Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
Para X(x):
X''(x) + lambda X(x) = 0
Para Y(y):
Y''(y) - lambda Y(y) = 0
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 4
Começamos resolvendo a equação para Y(y):
Y''(y) - lambda Y(y) = 0
A solução geral dessa equação depende do sinal de lambda. Para termos soluções não triviais que satisfaçam as condições de contorno, escolhemos lambda = (npi2)^2, onde n é um inteiro positivo. Assim, a solução para Y(y) é:
Yn(y) = sin(npi y2)
Isso satisfaz as condições de contorno Y(0) = 0 e Y(2) = 0.
Passo 5
Agora, resolvemos a equação para X(x) com lambda = (npi2)^2:
X''(x) - (npi2)^2 X(x) = 0
A solução dessa equação é:
Xn(x) = An sinh(npi x2) + Bn cosh(npi x2)
Como a condição u(0, y) = 0 implica X(0) = 0, temos:
Xn(0) = An sinh(0) + Bn cosh(0) = Bn = 0
Portanto, a solução para X(x) simplifica para:
Xn(x) = An sinh(npi x2)
Passo 6
Juntando Xn(x) e Yn(y), a solução geral é uma soma de todas as soluções separáveis:
u(x, y) = sumn=1^infty An sinh(npi x2) sin(npi y2)
Agora, precisamos determinar os coeficientes An usando a condição na borda x = 3:
u(3, y) = k(y)
Passo 7
Substituindo x = 3 na solução geral:
k(y) = sumn=1^infty An sinh(3npi2) sin(npi y2)
Para encontrar An, multiplicamos ambos os lados por sin(mpi y2) e integramos de 0 a 2:
integral0^2 k(y) sin(mpi y2) dy = Am sinh(3mpi2) integral0^2 sin^2(mpi y2) dy
A integral à direita é integral0^2 sin^2(mpi y2) dy = 1, então:
Am = 1sinh(3mpi2) integral0^2 k(y) sin(mpi y2) dy
Passo 8
Agora, precisamos calcular a integral para [A_m) usando a definição de :
Dividimos a integral em três partes correspondentes a cada intervalo de (k(y)]:
Essas integrais podem ser calculadas usando métodos de integração por partes ou tabelas de integrais.
Passo 9
Depois de calcular as integrais para cada m, obtemos os coeficientes Am. Assim, a solução completa é:
u(x, y) = sumn=1^infty [ 1sinh(3npi2) ( integral0^12 y sin(npi y2) dy + integral12^32 12 sin(npi y2) dy + integral32^2 (2 - y) sin(npi y2) dy ) ] sinh(npi x2) sin(npi y2)
Resposta
A solução da equação de Laplace com as condições de contorno dadas é:
u(x, y) = sumn=1^infty [ 1sinh(3npi2) ( integral0^12 y sin(npi y2) dy + integral12^32 12 sin(npi y2) dy + integral32^2 (2 - y) sin(npi y2) dy ) ] sinh(npi x2) sin(npi y2)
Essa série representa a solução desejada para o problema proposto.