Calcule integralr f(x, y, z) d s, onde
f(x, y, z)=x y z e r(t) é dada pela interseção de x^2+y^2+z^2=R^2 e 4(x^2+y^2)= R^2, R>0, situada no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral integralr f(x, y, z) , ds, onde f(x, y, z) = x y z. A curva r(t) é a interseção da esfera x^2 + y^2 + z^2 = R^2 com o cilindro 4(x^2 + y^2) = R^2, e estamos focando no primeiro octante (onde x, y e z são positivos).
Vamos precisar usar parametrização de curvas, entender como essas superfícies se intersectam e aplicar cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a parametrização da curva r(t). Temos duas equações:
  1. Esfera: x^2 + y^2 + z^2 = R^2
  2. Cilindro: 4(x^2 + y^2) = R^2
Vamos resolver o cilindro para x^2 + y^2:
x^2 + y^2 = R^24
Agora, substituímos isso na equação da esfera para achar z:
R^24 + z^2 = R^2
z^2 = R^2 - R^24 = 3R^24
z = raiz3 R2
Então, a curva de interseção tem z constante igual a raiz3 R2 e x^2 + y^2 = R^24. Podemos parametrizar x e y usando ângulo theta:
x = R2 cos theta
y = R2 sin theta
z = raiz3 R2

Passo 3

Agora, temos a parametrização da curva:
r(theta) = ( R2 cos theta, R2 sin theta, raiz3 R2 )
Para calcular a integral de linha, precisamos expressar f(x, y, z) em termos de theta:
f(x, y, z) = x y z = ( R2 cos theta ) ( R2 sin theta ) ( raiz3 R2 ) = raiz3 R^38 cos theta sin theta

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o elemento diferencial de arco ds. A derivada de r(theta) em relação a theta é:
r'(theta) = ( -R2 sin theta, R2 cos theta, 0 )
O módulo dessa derivada é:
| r'(theta) | = raiz(-R2 sin theta)^2 + (R2 cos theta)^2 + 0^2 = raizR^24 (sin^2 theta + cos^2 theta) = R2
Então, ds = R2 dtheta.

Passo 5

Agora, podemos escrever a integral de linha em termos de theta:
integralr x y z , ds = integral0^pi2 raiz3 R^38 cos theta sin theta cdot R2 dtheta = raiz3 R^416 integral0^pi2 cos theta sin theta , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral integral0^pi2 cos theta sin theta , dtheta. Podemos usar substituição u:
Deixe u = sin theta, então du = cos theta dtheta.
Os limites de integração mudam para:
  • Quando theta = 0, u = 0
  • Quando theta = pi2, u = 1
Então, a integral fica:
integral0^1 u , du = [ u^22 ]0^1 = 12

Passo 7

Substituindo o resultado da integral de volta:
integralr x y z , ds = raiz3 R^416 cdot 12 = raiz3 R^432

Resposta

A integral integralr x y z , ds é igual a raiz3 R^432.

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