Calcule
, onde
e
é dada pela interseção de
e
, situada no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral
, onde
. A curva
é a interseção da esfera
com o cilindro
, e estamos focando no primeiro octante (onde
,
e
são positivos).
Vamos precisar usar parametrização de curvas, entender como essas superfícies se intersectam e aplicar cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a parametrização da curva
. Temos duas equações:
- Esfera:
- Cilindro:
Vamos resolver o cilindro para
:
Agora, substituímos isso na equação da esfera para achar
:
Então, a curva de interseção tem
constante igual a
e
. Podemos parametrizar
e
usando ângulo
:
Passo 3
Agora, temos a parametrização da curva:
Para calcular a integral de linha, precisamos expressar
em termos de
:
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular o elemento diferencial de arco
. A derivada de
em relação a
é:
O módulo dessa derivada é:
Então,
.
Passo 5
Agora, podemos escrever a integral de linha em termos de
:
Passo 6
Vamos resolver a integral
. Podemos usar substituição u:
Deixe
, então
.
Os limites de integração mudam para:
- Quando
, - Quando
,
Então, a integral fica:
Passo 7
Substituindo o resultado da integral de volta:
Resposta
A integral
é igual a
.