Determine mathscrL^-11s(s^2+4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de transformada inversa de Laplace! O enunciado pede para determinar mathscrL^-11s(s^2+4). Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a decomposição em frações parciais e depois aplicar as transformadas inversas conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função 1s(s^2+4) em termos de frações parciais. Queremos encontrar constantes A, B e C tal que:
1s(s^2+4) = As + Bs + Cs^2 + 4

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C. Multiplicamos ambos os lados por s(s^2 + 4) para eliminar os denominadores:
1 = A(s^2 + 4) + (Bs + C)s
Expandindo:
1 = A s^2 + 4A + B s^2 + C s
Agrupando termos semelhantes:
1 = (A + B)s^2 + C s + 4A
Para que essa igualdade seja válida para todo s, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o sistema de equações:
A + B = 0 C = 0 4A = 1
Resolvendo o sistema:
  • De 4A = 1, temos A = 14.
  • De A + B = 0, substituindo A, temos B = -14.
  • De C = 0, já sabemos que C = 0.

Passo 4

Substituindo os valores de A, B e C na decomposição:
1s(s^2+4) = 1/4s + -14ss^2 + 4
Simplificando:
1s(s^2+4) = 14s - s4(s^2 + 4)
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
mathscrL^-11s = 1
mathscrL^-1ss^2 + a^2 = cos(at)
No nosso caso, a = 2, então:
mathscrL^-1ss^2 + 4 = cos(2t)
Então, temos:
mathscrL^-11s(s^2+4) = 14 cdot 1 - 14 cos(2t)

Resposta

A transformada inversa é:
mathscrL^-11s(s^2+4) = 14 - 14cos(2t)

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