Beleza, vamos resolver essa questão de transformada inversa de Laplace! O enunciado pede para determinar . Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a decomposição em frações parciais e depois aplicar as transformadas inversas conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função em termos de frações parciais. Queremos encontrar constantes A, B e C tal que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C. Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo s, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
De 4A = 1, temos A = 14.
De A + B = 0, substituindo A, temos B = -14.
De C = 0, já sabemos que C = 0.
Passo 4
Substituindo os valores de A, B e C na decomposição:
1s(s^2+4) = 1/4s + -14ss^2 + 4
Simplificando:
1s(s^2+4) = 14s - s4(s^2 + 4)
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que: