(Integral de Função Definida por Partes) Calcule integral0^4 f(x) d x onde:
f(x)= 2 x & se 0 <= x <= 2 4 & se 2<x <= 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral0^4 f(x) dx, onde a função f(x) é definida de forma diferente em dois intervalos: de 0 a 2, f(x) = 2x, e de 2 a 4, f(x) = 4. Vamos usar o conceito de integrais definidas e funções por partes para calcular essa integral.

Passo 2

Primeiro, como a função f(x) tem duas expressões diferentes em intervalos distintos, vamos dividir a integral em duas partes correspondentes a esses intervalos. Assim, temos:
integral0^4 f(x) dx = integral0^2 2x dx + integral2^4 4 dx

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira integral: integral0^2 2x dx. A integral de 2x em relação a x é:
integral 2x dx = x^2 + C
Onde C é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos calcular os limites de 0 a 2:
[x^2]0^2 = (2)^2 - (0)^2 = 4 - 0 = 4

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a segunda integral: integral2^4 4 dx. A integral de uma constante 4 em relação a x é:
integral 4 dx = 4x + C
Novamente, aplicando os limites de 2 a 4:
[4x]2^4 = 4(4) - 4(2) = 16 - 8 = 8

Passo 5

Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter o valor total da integral original:
integral0^4 f(x) dx = 4 + 8 = 12

Resposta

O valor de integral0^4 f(x) dx é igual a 12.

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