Considerando as funções a1(x)=x^2+2 x-3 e a2(x)=raizx, determine:
A segunda derivada das funções a1(x) e a2(x) no ponto x=14, utilizando as propriedades das derivadas.

Passo 1

O enunciado dá as funções
a1(x)=x^2+2x-3
e
a2(x)=raizx=x^tfrac12
e pede para calcular a segunda derivada de cada uma delas no ponto x=tfrac14. O conteúdo aqui é aplicação das regras de derivação (regra da soma, da constante e da potência) e, em seguida, avaliação no ponto dado.

Passo 2

Começamos por a1(x). Como é uma soma de potências e constantes, usamos:
  • ddx[x^n]=n,x^n-1,
  • ddx[c]=0 para constante c.
    Logo,
a1'(x)=ddx[x^2]+ ddx[2x]-ddx[3] =2x+2-0 =2x+2
Derivando novamente:
a1''(x)=ddx[2x+2]=2

Passo 3

Agora é só avaliar em x=tfrac14:
a1''l(tfrac14r)=2

Passo 4

Passamos para a2(x)=x^tfrac12. Aplicamos a regra da potência para expoente fracionário:
a2'(x)=tfrac12,x^tfrac12-1=tfrac12,x^-tfrac12
Derivando de novo:
a2''(x) =ddxl[tfrac12,x^-tfrac12r] =tfrac12l(-tfrac12r)x^-tfrac12-1 =-tfrac14,x^-tfrac32

Passo 5

Avaliaremos em x=tfrac14. Note que
l(tfrac14r)^-tfrac32 =l(tfrac14r)^-1,5 =l(4r)^1,5 =(raiz4)^3=2^3=8
Portanto,
a2''l(tfrac14r) =-tfrac14cdot 8 =-2

Resposta

a1''l(tfrac14r)=2
a2''l(tfrac14r)=-2

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