Calcule d yd x onde y é definido pela equação
3 x^2 y-4 x+4=y^2-y
e em seguida calcule a reta tangente a esta curva no ponto (1,0).

Passo 1

O enunciado define y de forma implícita pela equação
3x^2y - 4x + 4 = y^2 - y
e pede primeiro a derivada dydx por diferenciação implícita, e depois a reta tangente a essa curva no ponto (1,0).

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados em relação a x, lembrando que y é função de x. No lado esquerdo, use produto em 3x^2y:
ddx(3x^2y) = 6x,y + 3x^2,dydx,
ddx(-4x) = -4, ddx(4)=0
No lado direito,
ddx(y^2) = 2y,dydx, ddx(-y) = -dydx
Portanto a derivada de cada lado dá
6x,y + 3x^2,dydx - 4 = 2y,dydx - dydx

Passo 3

Agrupamos os termos com dydx num lado e os restantes no outro:
3x^2,dydx - 2y,dydx + dydx = 4 - 6x,y
Fatorando dydx:
dydx,l(3x^2 - 2y + 1r) = 4 - 6x,y
Logo a derivada implícita é
dydx = 4 - 6x,y3x^2 - 2y + 1

Passo 4

No ponto (1,0) temos x=1 e y=0. Substituindo na fórmula:
numerador = 4 - 6cdot1cdot0 = 4,
denominador = 3cdot1^2 - 2cdot0 + 1 = 4,
portanto
dydx|(1,0) = 44 = 1

Passo 5

A reta tangente em (x0,y0)=(1,0) com coeficiente angular m=1 é
y - y0 = m,(x - x0)
ou seja
y - 0 = 1,(x - 1)
boxedy = x - 1

Resposta

dydx = 4 - 6x,y3x^2 - 2y + 1
reta tangente em (1,0): y = x - 1.

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