Considere a função abaixo e responda:

Para que valores de a função é contínua em 0 ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 1 - x + e^(x-1)sin(x-1),& x<1, b,& x=1, dfracsin^2(x-1)x-1,& x>1,
e pede para que valores de b ela seja contínua em 0.
Como 0<1, tanto f(0) quanto limxto0f(x) são calculados usando o ramo x<1. Para continuidade em 0 precisamos ter
limxto0f(x)=f(0)

Passo 2

Calculamos o valor de f(0) pelo ramo x<1:
f(0)=1-0+e^(0-1)sin(0-1) =1+e^-1sin(-1)
Como sin(-1)=-sin(1), fica
f(0)=1 - e^-1sin(1)

Passo 3

Agora o limite lateral em 0:
limxto0f(x) =limxto0l(1 - x + e^(x-1)sin(x-1)r)
Essa expressão é composta por funções elementares contínuas, logo basta substituir x=0:
limxto0f(x) =1 - 0 + e^-1sin(-1) =1 - e^-1sin(1)

Passo 4

Como
limxto0f(x)=1 - e^-1sin(1)=f(0),
a condição de continuidade em 0 está satisfeita independentemente do valor de b, pois b só afeta a continuidade em x=1.

Resposta

A função f é contínua em 0 para todo binR.

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