Para os valores de encontrados no item anterior, em quais deles é diferenciável em 0 ?
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e já foi encontrado no item anterior que, para continuidade em x=1, deve ser b=0. Agora a pergunta é: para esse valor de b, em quais deles (isto é, para quais b) a função é diferenciável em 0?
Passo 2
Como 0<1, ao estudar diferenciabilidade em x=0 usamos apenas a primeira ramificação
f(x)=1 - x + e^(x-1)sin(x-1),
Essa é composição e soma de funções C^infty (1-x, e^x-1 e sin(x-1)), logo essa expressão é diferenciável em todo R, em particular em x=0.
Passo 3
Para ilustrar, podemos calcular explicitamente a derivada lateral em 0. Derivando
que é um número finito. Portanto a derivada em 0 existe e é bem definida.
Resposta
Como a única restrição sobre b veio de x=1 e não afeta o ramo para x<1, concluímos que, para o valor b=0 encontrado no item anterior, a função f é diferenciável em 0.