Considere a função abaixo e responda:

Para os valores de encontrados no item anterior, em quais deles é diferenciável em 0 ?

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= 1 - x + e^(x-1)cdotsin(x-1),&x<1, b,&x=1, dfracsin^2(x-1)x-1,&x>1,
e já foi encontrado no item anterior que, para continuidade em x=1, deve ser b=0. Agora a pergunta é: para esse valor de b, em quais deles (isto é, para quais b) a função é diferenciável em 0?

Passo 2

Como 0<1, ao estudar diferenciabilidade em x=0 usamos apenas a primeira ramificação
f(x)=1 - x + e^(x-1)sin(x-1),
Essa é composição e soma de funções C^infty ( 1-x, e^x-1 e sin(x-1)), logo essa expressão é diferenciável em todo R, em particular em x=0.

Passo 3

Para ilustrar, podemos calcular explicitamente a derivada lateral em 0. Derivando
f'(x) = -1 + ddxl(e^(x-1)sin(x-1)r) = -1 + e^(x-1)l[sin(x-1)+cos(x-1)r]
Em x=0 isso dá
f'(0) = -1 + e^-1l[sin(-1)+cos(-1)r],
que é um número finito. Portanto a derivada em 0 existe e é bem definida.

Resposta

Como a única restrição sobre b veio de x=1 e não afeta o ramo para x<1, concluímos que, para o valor b=0 encontrado no item anterior, a função f é diferenciável em 0.

Exercícios relacionados