Passo 1

Beleza, a questã o é resolver a EDO
(x^4 - x + y),dx ;-; x,dy ;=; 0
Conteúdo: equações diferenciais de 1ª ordem, exatidão e fator integrante. Vamos precisar
  • Entender a noção de equação exata;
  • Testar exatidão com ∂M/∂y e ∂N/∂x;
  • Se não for exata, achar um fator integrante (aqui vai depender só de x);
  • Integrar para achar a solução implícita.

Passo 2

Primeiro, identifca as funções
M(x,y) = x^4 - x + y, N(x,y) = -,x,
porque a equação está na forma M,dx + N,dy = 0.
Agora calcule as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = -1
Como 1 neq -1, a equação NÃO é exata.

Passo 3

Quando não é exata, a gente tenta achar um fator integrante mu pra multiplicar tudo e tornar exata.
Procura-se mu(x) tal que
partialpartial y(mu M) ;=; partialpartial x(mu N)
Uma receita comum é verificar
partial Mpartial y ;-; partial Npartial xN ;=; 1 - (-1)-,x ;=; -2x,
que depende só de x. Então existe mu(x) dado por
mu(x) = expl(integral -tfrac2x,dxr) = exp(-2ln|x|) = x^-2

Passo 4

Multiplica a EDO original por mu(x)=x^-2:
l(x^4 - x + yr)x^-2,dx ;-; xcdot x^-2,dy = 0 ;;Longrightarrow;; l(x^2 - x^-1 + y,x^-2r),dx ;-; x^-1,dy = 0
Agora define
tilde M = x^2 - x^-1 + y,x^-2, tilde N = -,x^-1
Confere exatidão:
partial tilde Mpartial y = x^-2, partial tilde Npartial x = (-1)(-1)x^-2 = x^-2
Beleza, agora é exata.

Passo 5

Como é exata, existe uma função phi(x,y) tal que
partial phipartial x = tilde M, partial phipartial y = tilde N
Integra tilde M em relação a x:
phi(x,y) = integrall(x^2 - x^-1 + y,x^-2r),dx = x^33 - ln|x| - yx + h(y),
onde h(y) é “constante” em relação a x.
Agora derivamos em y e igualamos a tilde N:
partial phipartial y = -,1x + h'(y) stackrel!= -,1x ;;Longrightarrow;; h'(y) = 0 ;;Longrightarrow;; h(y) = C,

Resposta

A solução geral (implícita) é
boxed,x^33 ;-; lnlvert xrvert ;-; yx = C,

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