Passo 1
Beleza, a questã o é resolver a EDO
Conteúdo: equações diferenciais de 1ª ordem, exatidão e fator integrante. Vamos precisar
- Entender a noção de equação exata;
- Testar exatidão com ∂M/∂y e ∂N/∂x;
- Se não for exata, achar um fator integrante (aqui vai depender só de
); - Integrar para achar a solução implícita.
Passo 2
Primeiro, identifca as funções
porque a equação está na forma
.
Agora calcule as derivadas parciais:
Agora calcule as derivadas parciais:
Como
, a equação NÃO é exata.
Passo 3
Quando não é exata, a gente tenta achar um fator integrante
pra multiplicar tudo e tornar exata.
Procura-se tal que
Procura-se
Uma receita comum é verificar
que depende só de
. Então existe
dado por
Passo 4
Multiplica a EDO original por
:
Agora define
Confere exatidão:
Beleza, agora é exata.
Passo 5
Como é exata, existe uma função
tal que
Integra
em relação a
:
onde
é “constante” em relação a
.
Agora derivamos em e igualamos a
:
Agora derivamos em
Resposta
A solução geral (implícita) é