Calcule
onde
é a fronteira da região
, orientada no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
é a fronteira da região
orientada no sentido horário.
O conteúdo principal será usar o Teorema de Green para converter essa integral de linha numa integral dupla sobre .
O conteúdo principal será usar o Teorema de Green para converter essa integral de linha numa integral dupla sobre
Passo 2
Pelo Teorema de Green, se
estivesse orientada positivamente (no sentido anti-horário), valeria
Como
está orientada no sentido horário, invertemos o sinal:
Passo 3
Identificamos
Calculamos as derivadas:
e
.
Logo
e
Logo
Passo 4
Em coordenadas polares
, com
temos
Passo 5
Primeiro o integral em
:
Depois em
:
Portanto
Passo 6
Voltando ao Teorema de Green com orientação horário: