Calcule
ointC x^2-y^22 d x+(x^22+y^4) d y
onde C é a fronteira da região D=(x, y): 1 <= x^2+y^2 <= 4, x >= 0, y >= 0, orientada no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
ointCx^2-y^22,dx ;+;l(x^22+y^4r),dy
onde C é a fronteira da região
D=(x,y)mid 1<= x^2+y^2<=4,;x>=0,;y>=0
orientada no sentido horário.
O conteúdo principal será usar o Teorema de Green para converter essa integral de linha numa integral dupla sobre D.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, se C estivesse orientada positivamente (no sentido anti-horário), valeria
ointCP,dx+Q,dy ;=;integral duplaDl(partialxQ-partialyPr),dA
Como C está orientada no sentido horário, invertemos o sinal:
ointCP,dx+Q,dy = -integral duplaDl(partialxQ-partialyPr),dA

Passo 3

Identificamos
P(x,y)=x^2-y^22, Q(x,y)=x^22+y^4
Calculamos as derivadas:
partialxQ = x
e
partialyP = -y.
Logo
partialxQ - partialyP = x - (-y) = x+y

Passo 4

Em coordenadas polares l(x=rcostheta,;y=rsinthetar), com
rin[1,2], thetain[0,tfracpi2], dA = r,dr,dtheta,
temos
integral duplaD(x+y),dA =integral0^pi/2!integral1^2l(rcostheta + rsinthetar),r,dr,dtheta =integral0^pi/2!integral1^2l(r^2costheta + r^2sinthetar),dr,dtheta

Passo 5

Primeiro o integral em r:
integral1^2r^2,dr =l[tfracr^33r]1^2 =8-13=73
Depois em theta:
integral0^pi/2(costheta+sintheta),dtheta =l[sintheta - costhetar]0^pi/2 =(1-0)+ (1-(-1))/!2 =1+1=2
Portanto
integral duplaD(x+y),dA =73times 2 =143

Passo 6

Voltando ao Teorema de Green com orientação horário:
ointCP,dx+Q,dy =-integral duplaD(x+y),dA =-143

Resposta

-tfrac143

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