Em um experimento químico, a concentração de um reagente C(t), em mol/L, varia em função do tempo t, em minutos, de acordo com a seguinte equação:
C(t)=10t+2
Determine o instante de tempo t no qual a taxa de variação da concentração é igual a -0.5 mol /(L cdot min).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de química juntos! A gente tem uma função que mostra como a concentração de um reagente, C(t) , muda com o tempo t . A equação dada é C(t) = 10t + 2 . Nosso objetivo é encontrar o momento t em que a taxa de variação dessa concentração é igual a -0,5 , mol/(L cdot min). Para isso, vamos usar cálculo, mais especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar essa taxa de variação.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a taxa de variação da concentração em relação ao tempo é dada pela derivada de C(t) em relação a t , ou seja, C'(t) . Então, vamos derivar a função C(t) = 10t + 2 .

Passo 3

Para derivar C(t) = 10t + 2 , podemos reescrever a função como C(t) = 10(t + 2)^-1 . Agora, aplicamos a regra da potência para derivadas: se f(t) = (t + 2)^n , então f'(t) = n(t + 2)^n-1 .

Passo 4

Aplicando a regra da potência:
C'(t) = 10 cdot (-1) cdot (t + 2)^-2 = -10(t + 2)^2
Então, a derivada da concentração em relação ao tempo é C'(t) = -10(t + 2)^2 .

Passo 5

Agora, sabemos que queremos que C'(t) = -0,5 . Então, vamos igualar a derivada a -0,5 e resolver para t :
-10(t + 2)^2 = -0,5

Passo 6

Primeiro, podemos eliminar os sinais negativos de ambos os lados:
10(t + 2)^2 = 0,5
Agora, multiplicamos ambos os lados por (t + 2)^2 :
10 = 0,5(t + 2)^2
Dividindo ambos os lados por 0,5:
20 = (t + 2)^2
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
t + 2 = raiz20 ou t + 2 = -raiz20
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a segunda opção:
t + 2 = raiz20
Subtraindo 2 de ambos os lados:
t = raiz20 - 2 approx 4,4721 - 2 = 2,4721 , min

Resposta

O instante de tempo t em que a taxa de variação da concentração é igual a -0,5 , mol/(L cdot min) é aproximadamente t = 2,47 minutos.

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