Seja alpha uma constante não-nula e f: R R definida por
f(x)=l alpha(x-1)+(x-1)^2 sin (1x-1), x neq 1 0, x=1
A função f é contínua em x=1 ? E nos demais pontos? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício sobre continuidade de funções. A gente tem uma função f definida de forma diferente quando x é igual a 1 e quando é diferente. Nosso objetivo é descobrir se essa função é contínua em x = 1 e também em todos os outros pontos. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função f é contínua em a se o limite de f(x) quando x se aproxima de a for igual ao valor da função em a , ou seja:
limx to a f(x) = f(a)
Então, para verificar a continuidade em x = 1 , vamos calcular esse limite e comparar com f(1) .

Passo 3

Vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 1:
limx to 1 [ alpha(x-1) + (x-1)^2 sin(1x-1) ]
Podemos separar esse limite em duas partes:
limx to 1 alpha(x-1) + limx to 1 (x-1)^2 sin(1x-1)

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro:
limx to 1 alpha(x-1) = alpha cdot 0 = 0
Porque x-1 tende a 0 quando x se aproxima de 1.

Passo 5

Agora, a segunda parte:
limx to 1 (x-1)^2 sin(1x-1)
Sabemos que sin de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Então:
- (x-1)^2 <= (x-1)^2 sin(1x-1) <= (x-1)^2
Como (x-1)^2 tende a 0 quando x se aproxima de 1, pelo teorema do sanduíche, o limite também é 0.

Passo 6

Somando as duas partes que calculamos:
0 + 0 = 0
Então, o limite de f(x) quando x se aproxima de 1 é 0.

Passo 7

Agora, comparando com o valor da função em 1:
f(1) = 0
Como o limite é igual ao valor da função, a função f é contínua em x = 1 .

Passo 8

Para os demais pontos x neq 1 , a função f(x) é a soma de duas funções contínuas: alpha(x-1) que é uma função linear contínua, e (x-1)^2 sin(1x-1) . Como a soma de funções contínuas é contínua, f é contínua em todos os outros pontos de R .

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos de R , incluindo x = 1 .

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