Um reservatório cilíndrico, com base circular de raio igual a 2 m e com 5 m de altura, está com água a de sua capacidade. Se fizermos um furo no fundo e constatarmos que, após 12 minutos, a água no reservatório cai para 50% de sua capacidade, determine:
A altura da coluna de água no reservatório para o instante de tempo (dado em minutos).
Passo 1
O enunciado fala de um reservatório cilíndrico de raio m e altura total m, inicialmente cheio a da capacidade, ou seja, com altura de água m. Após min, a altura cai para m (que corresponde a da capacidade). O conteúdo é escoamento de um orifício em fundo de tanque, regido pela Lei de Torricelli, levando à equação diferencial
onde é constante que depende da área do orifício e da seção do tanque.
Passo 2
Começamos identificando as condições iniciais e no instante :
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial
separamos variáveis:
Passo 4
Usando e , obtemos a constante de integração :
ficando
2raizh=4-Kt
raizh=2-K2,t
Passo 5
Para achar K, usamos a condição h(12)=2,5, ou seja raizh(12)=raiz2,5. Substituindo t=12:
raiz2,5=2-K2cdot12
raiz2,5=2-6K
6K=2-raiz2,5
K=2-raiz2,56
Passo 6
Substituindo esse valor de K na expressão de raizh: