Um reservatório cilíndrico, com base circular de raio igual a 2 m e com 5 m de altura, está com água a 80 % de sua capacidade. Se fizermos um furo no fundo e constatarmos que, após 12 minutos, a água no reservatório cai para 50% de sua capacidade, determine:
A altura h(t) da coluna de água no reservatório para o instante de tempo t (dado em minutos).

Passo 1

O enunciado fala de um reservatório cilíndrico de raio 2 m e altura total 5 m, inicialmente cheio a 80% da capacidade, ou seja, com altura de água h(0)=4 m. Após 12 min, a altura cai para 2,5 m (que corresponde a 50% da capacidade). O conteúdo é escoamento de um orifício em fundo de tanque, regido pela Lei de Torricelli, levando à equação diferencial
dhdt=-Kraizh,
onde K>0 é constante que depende da área do orifício e da seção do tanque.

Passo 2

Começamos identificando as condições iniciais e no instante t=12:
h(0)=4,
h(12)=2,5

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial
dhdt=-Kraizh,
separamos variáveis:
integraldhraizh=-integral K,dt
2raizh=-Kt+C

Passo 4

Usando t=0 e raizh(0)=raiz4=2, obtemos a constante de integração C:
2raizhl|t=0=CLongrightarrow C=2cdot2=4,
ficando
2raizh=4-Kt
raizh=2-K2,t

Passo 5

Para achar K, usamos a condição h(12)=2,5, ou seja raizh(12)=raiz2,5. Substituindo t=12:
raiz2,5=2-K2cdot12
raiz2,5=2-6K
6K=2-raiz2,5
K=2-raiz2,56

Passo 6

Substituindo esse valor de K na expressão de raizh:
raizh=2-12,2-raiz2,56,t
raizh=2-2-raiz2,512,t
Elevando ao quadrado, obtemos a altura h(t):

Passo 7

boxedh(t)=(2-2-raiz2,512,t)^2

Resposta

h(t)=l(2-tfrac2-raiz2,512,tr)^2

Exercícios relacionados