Considere o campo gradiente
Calcule
, onde
é parte de uma hipérbole que liga o ponto
ao ponto
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede a integral de linha
ao longo de uma curva
que liga
a
.
Como é um campo gradiente, podemos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha: basta achar uma função potencial
tal que
Como
e então
Passo 2
Procuramos
satisfazendo
Integrando em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 3
Agora diferenciamos em relação a
e igualamos ao segundo componente de
:
Logo
Portanto uma potencial válida é
Passo 4
Basta avaliar nos pontos finais:
Então, pela independência de caminho,