Considere o campo gradiente
F(x, y)=(e^-y-2 x,-x e^-y-sen y)
Calcule integralC F cdot d r, onde C é parte de uma hipérbole que liga o ponto (pi, 0) ao ponto (0, pi).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y)=l(e^-y-2x,,-x,e^-y-sen yr)
e pede a integral de linha
integralC Fcdot d r
ao longo de uma curva C que liga (pi,0) a (0,pi).
Como F é um campo gradiente, podemos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha: basta achar uma função potencial phi tal que
nablaphi = F,
e então
integralC Fcdot d r = phil(0,pir) - phil(pi,0r)

Passo 2

Procuramos phi(x,y) satisfazendo
partialphipartial x = e^-y-2x, partialphipartial y = -x,e^-y-sen y
Integrando em relação a x:
phi(x,y) = integrall(e^-y-2xr),dx = x,e^-y - x^2 + g(y),
onde g é função a determinar.

Passo 3

Agora diferenciamos em relação a y e igualamos ao segundo componente de F:
partialphipartial y = -x,e^-y + g'(y) = - x,e^-y - sen y
Logo
g'(y)=-sen y Longrightarrow g(y)=cos y + C
Portanto uma potencial válida é
phi(x,y)=x,e^-y - x^2 + cos y

Passo 4

Basta avaliar nos pontos finais:
phil(0,pir) =0cdot e^-pi-0^2+cospi =-1,
phil(pi,0r) =picdot e^0 - pi^2 + cos0 =pi - pi^2 +1
Então, pela independência de caminho,
integralC Fcdot d r =phi(0,pi)-phi(pi,0) =-1 - l(pi - pi^2 +1r) =pi^2 - pi - 2

Resposta

pi^2 - pi - 2

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