Calcule integral duplasigma u cdot n d S onde sigma é a fronteira da região B nos seguintes casos
(a) B=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 1 ; 0 <= y <= x ; 0 <= z <= 4 e u(x, y, z)= (x y, y z, x^2
(b) B=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2 <= 1 ; x^2+y^2 <= z <= 5-x^2-y^2 e u(x, y, z)=

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
integral duplasigmaucdotn,dS
sobre a fronteira sigma=partial B de uma região BsubsetR^3. Vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss), que diz
integral duplapartial Bucdotn,dS =integral triplaBdiv,u,dV
Faremos isso no caso (a) e, em seguida, analisaremos o que ocorre em (b).

Passo 2

Caso (a):
B=(x,y,z)mid 0<= x<=1,;0<= y<= x,;0<= z<=4
e
u(x,y,z)=(xy,;yz,;x^2)
Primeiro calculamos
div,u =partialpartial x(xy) +partialpartial y(yz) +partialpartial z(x^2) =y+z+0 =y+z

Passo 3

Aplicamos o teorema de Gauss:
integral duplapartial Bucdotn,dS =integral triplaB(y+z),dV =integralx=0^1!integraly=0^x!integralz=0^4(y+z),dz,dy,dx
Calculemos em ordem z, y, x:
integral0^4(y+z),dz =4y+12,4^2 =4y+8,
integral0^x(4y+8),dy =2x^2+8x,
integral0^1(2x^2+8x),dx =23+4 =143

Passo 4

Portanto, para (a)
integral duplapartial Bucdotn,dS =143

Passo 5

Caso (b): o enunciado descreve
B=(x,y,z)mid x^2+y^2<=1,;x^2+y^2<= z<=5-(x^2+y^2)
porém não foi fornecida a expressão de u(x,y,z). Sem saber u, não podemos calcular div,u nem o fluxo.

Resposta

(a) 143
(b) Impossível calcular, pois o campo vetorial u não foi especificado.

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