Use o teste da raiz para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste da raiz para descobrir se a série
converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o teste da raiz e calcular um certo limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da raiz. Esse teste ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita. Ele funciona assim: calculamos o limite
, onde
é o termo geral da série. Se esse limite for:
- Menor que 1: a série converge absolutamente.
- Maior que 1: a série diverge.
- Igual a 1: o teste não nos dá informação, e precisamos usar outro método.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o teste da raiz na nossa série. O termo geral da série é
. Então, precisamos calcular:
Como
é positivo para todo
natural, podemos simplificar:
Passo 4
Agora, vamos calcular esse limite. Sabemos que
tende a
quando
vai para o infinito. Então:
Passo 5
Comparando o limite
com 1:
Segundo o teste da raiz, se
, a série diverge.
Resposta
A série
diverge.