Use o teste da raiz para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
b) sumn=0^infty(arctg n)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste da raiz para descobrir se a série sumn=0^infty(arctan n)^n converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o teste da raiz e calcular um certo limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da raiz. Esse teste ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita. Ele funciona assim: calculamos o limite limn to infty raiz[n]|an|, onde an é o termo geral da série. Se esse limite for:
  • Menor que 1: a série converge absolutamente.
  • Maior que 1: a série diverge.
  • Igual a 1: o teste não nos dá informação, e precisamos usar outro método.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teste da raiz na nossa série. O termo geral da série é an = (arctan n)^n. Então, precisamos calcular:
L = limn to infty raiz[n]|(arctan n)^n|
Como arctan n é positivo para todo n natural, podemos simplificar:
L = limn to infty arctan n

Passo 4

Agora, vamos calcular esse limite. Sabemos que arctan n tende a pi2 quando n vai para o infinito. Então:
L = pi2 approx 1,5708

Passo 5

Comparando o limite L com 1:
1,5708 > 1
Segundo o teste da raiz, se L > 1, a série diverge.

Resposta

A série sumn=0^infty(arctan n)^n diverge.

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