1. Seja p(x)=(x-a)(x-b), sendo a e b constantes. Mostrar que se a neq b, então p(a)=p(b)=0, mas p^prime(a) neq 0 e p^prime(b) neq 0.
  2. Dadas as funções f(x)=x^2+A x e g(x)=B x, determinar A e B de tal forma que
l f^prime(x)+g^prime(x)=1+2 x f(x)-g(x)=x^2
  1. Dada a função f(t)=3 t^3-4 t+1, encontrar f(0)-t f^prime(0).

Passo 1

No enunciado 23 temos o polinômio
p(x)=(x-a)(x-b),
com aneq b. O objetivo é mostrar que p(a)=p(b)=0 e que as derivadas em a e b são não nulas, ou seja, p'(a)neq0 e p'(b)neq0.

Passo 2

Avaliar p em x=a e em x=b:
p(a)=(a-a)(a-b)=0cdot(a-b)=0,
p(b)=(b-a)(b-b)=(b-a)cdot0=0
Em seguida, calcular a derivada pelo produto:
p'(x)=ddxl((x-a)(x-b)r) =(x-a)',(x-b)+(x-a),(x-b)' =1cdot(x-b)+(x-a)cdot1 =2x-(a+b)

Passo 3

Substituir x=a e x=b em p'(x):
p'(a)=2a-(a+b)=a-b, p'(b)=2b-(a+b)=b-a
Como aneq b, temos a-bneq0 e b-aneq0. Logo p'(a)neq0 e p'(b)neq0.

Passo 4

No enunciado 24 definem-se
f(x)=x^2+Ax, g(x)=Bx
e impõem-se as condições
f'(x)+g'(x)=1+2x,
f(x)-g(x)=x^2
Queremos descobrir os valores de A e B.

Passo 5

Calcular as derivadas:
f'(x)=2x+A, g'(x)=B
Então
f'(x)+g'(x)=(2x+A)+B=2x+(A+B)
deve ser igual a 1+2x. Assim,
A+B=1

Passo 6

Agora,
f(x)-g(x)=(x^2+Ax)-Bx=x^2+(A-B)x
deve ser igual a x^2 para todo x, o que implica
A-B=0Longrightarrow A=B
Juntando com A+B=1 vem
2A=1Longrightarrow A=tfrac12, B=tfrac12

Passo 7

No enunciado 25 temos
f(t)=3t^3-4t+1
e o pedido é calcular f(0)-t,f'(0).

Passo 8

Avaliar f e f' em 0:
f(0)=3cdot0^3-4cdot0+1=1,
f'(t)=9t^2-4Longrightarrow f'(0)=9cdot0^2-4=-4
Logo
f(0)-t,f'(0)=1 - tcdot(-4)=1+4t

Resposta

  1. p(a)=0, p(b)=0; p'(a)=a-bneq0, p'(b)=b-aneq0.
  2. A=tfrac12, B=tfrac12.
  3. f(0)-t,f'(0)=1+4t.

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