Calcule
, onde
é a hélice circular dada pelas equações
,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é uma hélice circular definida pelas equações
,
,
para
. Vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais de linha, que envolve parametrizar a curva e encontrar o diferencial de arco
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da hélice. As equações dadas já estão parametrizadas em termos de
:
Aqui,
é o parâmetro que percorre a curva de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial de arco
. Para uma curva parametrizada por
, o diferencial de arco é dado por:
Vamos calcular as derivadas:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão de
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na integral original usando a parametrização:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Precisamos calcular
. Lembrando que:
Então:
A segunda integral é zero, então:
Resposta
Portanto, a integral é
.