Calcule integralC y sin (z) d s, onde C é a hélice circular dada pelas equações x=cos (t), y=sin (t), z=t com 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha integralC y sin(z) , ds , onde C é uma hélice circular definida pelas equações x = cos(t) , y = sin(t) , z = t para 0 <= t <= 2pi . Vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais de linha, que envolve parametrizar a curva e encontrar o diferencial de arco ds .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da hélice. As equações dadas já estão parametrizadas em termos de t :
x(t) = cos(t), y(t) = sin(t), z(t) = t, 0 <= t <= 2pi
Aqui, t é o parâmetro que percorre a curva de 0 a 2pi .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de arco ds . Para uma curva parametrizada por t , o diferencial de arco é dado por:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt
Vamos calcular as derivadas:
dxdt = -sin(t), dydt = cos(t), dzdt = 1

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão de ds :
ds = raiz(-sin(t))^2 + (cos(t))^2 + (1)^2 , dt = raizsin^2(t) + cos^2(t) + 1
Sabemos que sin^2(t) + cos^2(t) = 1 , então:
ds = raiz1 + 1 , dt = raiz2 , dt

Passo 5

Agora, vamos substituir y e sin(z) na integral original usando a parametrização:
y = sin(t), sin(z) = sin(t)
Portanto, a integral fica:
integralC y sin(z) , ds = integral0^2pi sin(t) cdot sin(t) cdot raiz2 , dt = raiz2 integral0^2pi sin^2(t) , dt

Passo 6

Precisamos calcular integral0^2pi sin^2(t) , dt . Lembrando que:
sin^2(t) = 1 - cos(2t)2
Então:
integral0^2pi sin^2(t) , dt = integral0^2pi 1 - cos(2t)2 , dt = 12 integral0^2pi 1 , dt - 12 integral0^2pi cos(2t) , dt
A segunda integral é zero, então:
integral0^2pi sin^2(t) , dt = 12 cdot 2pi = pi

Resposta

Portanto, a integral é raiz2 pi .

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