Derive:
y=e^-3 x+ln (arcsen(x))

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = e^-3x + lnl(arcsen(x)r)
e pede a derivada y'. O conteúdo é aplicação da regra da soma, da derivada de exponencial e da derivada do logaritmo composto.

Passo 2

Para derivar o primeiro termo, usamos que se u(x)=e^u então u' = e^ucdot u'(x). Aqui u(x)=-3x, logo
ddxl(e^-3xr) = e^-3xcdot(-3) = -3,e^-3x

Passo 3

Para derivar o segundo termo, que é lnl(arcsen(x)r), aplicamos a regra da cadeia no logaritmo: se v(x)=ln(w(x)) então
v'(x) = w'(x)w(x)
Aqui w(x)=arcsen(x).

Passo 4

Ainda na cadeia, precisamos de w'(x) para w(x)=arcsen(x). Sabemos que
ddxl(arcsen(x)r) = 1raiz1 - x^2
Portanto
ddxl[lnl(arcsen(x)r)r] = 1arcsen(x) cdot 1raiz1 - x^2 = 1arcsen(x),raiz1 - x^2

Passo 5

Somando as duas derivadas obtidas pelos termos da soma, temos
y' = -3,e^-3x + 1arcsen(x),raiz1 - x^2

Resposta

y' = -3,e^-3x + 1arcsen(x),raiz1 - x^2

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