Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando
tende ao ponto indicado:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a existência do limite da função
quando
.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis, e vamos testar diferentes caminhos de aproximação para ver se obtemos sempre o mesmo valor.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis, e vamos testar diferentes caminhos de aproximação para ver se obtemos sempre o mesmo valor.
Passo 2
Aproximando por retas do tipo
com
. Substituindo:
Como
, fica
Logo, por qualquer reta de inclinação
, o limite é zero.
Passo 3
Note que para
a expressão fica com denominador zero, então não dá para usar exatamente
ou
. Precisamos de um caminho que se aproxime de
mas que passe arbitrariamente “próximo” dessas direções problemáticas.
Passo 4
Escolhemos uma curva suave que aproxima a reta
, por exemplo
com
. Quando
, claramente
. Agora:
– Numerador:
– Numerador:
– Denominador:
Logo,
Fazendo
, obtemos
Como
é arbitrário, esse valor de limite pode ser qualquer número real ao escolhermos
. Isso mostra que ao longo de diferentes trajetórias o limite não coincide.
Resposta
O limite não existe.