Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando (x, y) tende ao ponto indicado:
f(x, y)=x^3+y^3x^2-y^2, P(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a existência do limite da função
f(x,y)=x^3+y^3x^2-y^2
quando (x,y)to(0,0).
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis, e vamos testar diferentes caminhos de aproximação para ver se obtemos sempre o mesmo valor.

Passo 2

Aproximando por retas do tipo y=kx com kneqpm1. Substituindo:
f(x,kx) =x^3+(kx)^3x^2-(kx)^2 =x^3(1+k^3)x^2(1-k^2) =x;1+k^31-k^2
Como xto0, fica
limxto0f(x,kx)=0
Logo, por qualquer reta de inclinação kneqpm1, o limite é zero.

Passo 3

Note que para k=pm1 a expressão fica com denominador zero, então não dá para usar exatamente y=x ou y=-x. Precisamos de um caminho que se aproxime de (0,0) mas que passe arbitrariamente “próximo” dessas direções problemáticas.

Passo 4

Escolhemos uma curva suave que aproxima a reta y=x, por exemplo
y = x + alpha x^2,
com alphaneq0. Quando xto0, claramente yto0. Agora:
– Numerador:
x^3+(x+alpha x^2)^3 = x^3 + x^3(1+alpha x)^3 =2x^3 + 3alpha x^4 + O(x^5)
– Denominador:
x^2 - (x+alpha x^2)^2 = x^2 - l(x^2 +2alpha x^3+O(x^4)r) = -2alpha x^3 + O(x^4)
Logo,
fl(x,,x+alpha x^2r) =2x^3+3alpha x^4+O(x^5)-2alpha x^3+O(x^4) ;=;-,1alpha + O(x)
Fazendo xto0, obtemos
limxto0fl(x,,x+alpha x^2r)=-1alpha
Como alpha é arbitrário, esse valor de limite pode ser qualquer número real ao escolhermos alpha. Isso mostra que ao longo de diferentes trajetórias o limite não coincide.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados