Seja
uma função dada implicitamente por
. Então encontre uma fórmula para
em termos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida de forma implícita pela equação
. Nosso objetivo é encontrar a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que nos permite encontrar derivadas mesmo quando as funções não estão isoladas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada
. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação original em relação a
:
Ao fazer isso, usamos a regra do produto no lado esquerdo:
Agora, vamos isolar
. Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando
:
Finalmente, dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora que temos
, vamos encontrar a segunda derivada
diferenciando
em relação a
. A expressão para
é:
Para diferenciar isso, vamos usar a regra do quociente:
Simplificando os termos:
Agora, substituímos
que encontramos anteriormente:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Finalmente, combinando os termos:
Resposta
A segunda derivada de
em termos de
e
é: