Seja y uma função dada implicitamente por x e^y=y-1. Então encontre uma fórmula para y^prime prime em termos de x e y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função y definida de forma implícita pela equação x e^y = y - 1 . Nosso objetivo é encontrar a segunda derivada de y em relação a x , ou seja, y'' . Para resolver isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que nos permite encontrar derivadas mesmo quando as funções não estão isoladas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada y' . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação original em relação a x :
ddx(x e^y) = ddx(y - 1)
Ao fazer isso, usamos a regra do produto no lado esquerdo:
e^y + x e^y y' = y'
Agora, vamos isolar y' . Subtraindo x e^y y' de ambos os lados:
e^y = y' - x e^y y'
Fatorando y' :
e^y = y' (1 - x e^y)
Finalmente, dividindo ambos os lados por (1 - x e^y) :
y' = e^y1 - x e^y

Passo 3

Agora que temos y' , vamos encontrar a segunda derivada y'' diferenciando y' em relação a x . A expressão para y' é:
y' = e^y1 - x e^y
Para diferenciar isso, vamos usar a regra do quociente:
y'' = (e^y y') (1 - x e^y) - e^y ( - e^y - x e^y y' )(1 - x e^y)^2
Simplificando os termos:
y'' = e^y y' (1 - x e^y) + e^2y + x e^2y y'(1 - x e^y)^2
Agora, substituímos y' que encontramos anteriormente:
y' = e^y1 - x e^y
Substituindo na expressão de y'' :
y'' = e^y ( e^y1 - x e^y ) (1 - x e^y) + e^2y + x e^2y ( e^y1 - x e^y )(1 - x e^y)^2
Simplificando:
y'' = e^2y + e^2y + x e^3y1 - x e^y(1 - x e^y)^2
Finalmente, combinando os termos:
y'' = 2 e^2y (1 - x e^y) + x e^3y(1 - x e^y)^3

Resposta

A segunda derivada de y em termos de x e y é:
y'' = 2 e^2y (1 - x e^y) + x e^3y(1 - x e^y)^3

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