Calcule f^prime(x) onde f(x) é igual a:
3^x cos ^4(4 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=3^x,cos^4(4x)
O conteúdo que vamos usar inclui a regra do produto, a derivada de a^x (exponencial) e a regra da cadeia para derivadas de potências e funções trigonométricas.

Passo 2

Sejam
u(x)=3^x, v(x)=cos^4(4x)
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Derivada de u(x)=3^x. Como ddxa^x=a^xln a, obtemos
u'(x)=3^xln 3

Passo 4

Derivada de v(x)=l(cos(4x)r)^4. Aplicamos regra da cadeia duas vezes:
  1. Se h(t)=t^4, então h'(t)=4t^3.
  2. Se g(x)=cos(4x), então g'(x)=-sin(4x)cdot4=-4sin(4x).
    Logo,
v'(x) =4l(cos(4x)r)^3cdotl(-4sin(4x)r) =-16cos^3(4x),sin(4x)

Passo 5

Substituindo em f'(x)=u'v+uv', temos
f'(x) =3^xln 3;cos^4(4x) +3^x;l(-16cos^3(4x),sin(4x)r)
Fatorando 3^xcos^3(4x), chega-se a
f'(x) =3^xcos^3(4x)l(ln 3,cos(4x)-16sin(4x)r)

Resposta

f'(x) =3^xcos^3(4x)l(ln 3,cos(4x)-16sin(4x)r)

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