Verifique se cada uma das sequências a seguir são convergentes e calcule seus limites.

Passo 1

O enunciado pede pra verificar se a sequência an = (2 - tfrac12^n)(5 + tfrac13^n) é convergente e, em caso afirmativo, calcular seu limite. O conteúdo envolve limites de sequências e uso das propriedades de soma e produto de limites.

Passo 2

Vamos estudar o limite do primeiro fator, 2 - tfrac12^n. Sabemos que a sequência tfrac12^n converge para 0, pois para ntoinfty o denominador cresce exponencialmente. Logo,
limntoinfty(2 - 12^n) = 2 - 0 = 2

Passo 3

Agora, estudamos o segundo fator, 5 + tfrac13^n. De forma semelhante, tfrac13^n tende a 0 quando ntoinfty. Então temos
limntoinfty(5 + 13^n) = 5 + 0 = 5

Passo 4

Como o produto de duas sequências convergentes também converge, e o limite do produto é o produto dos limites, concluímos que
limntoinfty an = limntoinftyl(2 - tfrac12^nr) cdot limntoinftyl(5 + tfrac13^nr) = 2 cdot 5 = 10

Resposta

10

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