Calcule f^prime(x) onde f(x) é igual a:
m) ln x+e^xcos x+sen x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=ln x+e^xcos x+sin x
O conteúdo principal é a regra do quociente, além das derivadas de ln x, de e^x, de cos x e de sin x.

Passo 2

Denotamos
u(x)=ln x+e^x, v(x)=cos x+sin x
Pela regra do quociente,
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Calculamos u' e v' usando as derivadas conhecidas:
u'=ddx(ln x+e^x)=1x+e^x,
v'=ddx(cos x+sin x)=-sin x+cos x

Passo 4

Substituindo na fórmula do quociente, obtemos
f'(x) =l(tfrac1x+e^xr),(cos x+sin x) -(ln x+e^x),(-sin x+cos x)(cos x+sin x)^2

Passo 5

Para simplificar o numerador, expandimos e cancelamos termos semelhantes:
l(tfrac1x+e^xr)(cos x+sin x) -(ln x+e^x)(-sin x+cos x) =cos x+sin xx +2e^xsin x +ln x,(sin x-cos x)
Logo, a expressão final é
f'(x) =cos x+sin xx+2e^xsin x+ln x,(sin x-cos x)(cos x+sin x)^2

Resposta

f'(x) =l(tfrac1x+e^xr)(cos x+sin x) -(ln x+e^x)(-sin x+cos x)(cos x+sin x)^2 =cos x+sin xx+2e^xsin x+ln x,(sin x-cos x)(cos x+sin x)^2

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