Calcule integralC f(x, y, z) d s, onde
f(x, y, z)=x e C é a interseção do cilindro parabólico y=x^2 com a parte do plano z=x, tal que 0 <= x <= 1.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral de linha
integralCf(x,y,z),ds
com f(x,y,z)=x e C sendo a curva de interseção de y=x^2 com o plano z=x, para 0<= x<=1. Vamos parametrizar C, obter o elemento de comprimento ds e calcular a integral.

Passo 2

Parametrizamos a curva por um parâmetro tin[0,1]:
r(t) = (t,;t^2,;t)
Logo f(r(t))=t e
r'(t)=(1,;2t,;1), |r'(t)|=raiz1+(2t)^2+1=raiz2+4t^2

Passo 3

O elemento de comprimento vale ds=|r'(t)|,dt. Assim
integralCf,ds =integral0^1t,raiz2+4t^2,dt
Fazendo u=2+4t^2, du=8t,dt ( t,dt=du/8), e trocando os limites t=0mapsto u=2, t=1mapsto u=6, temos
integral0^1t,raiz2+4t^2,dt =integral2^6raizu8,du =18cdot23l[u^3/2r]2^6 =6^3/2-2^3/212
Como 6^3/2=6raiz6 e 2^3/2=2raiz2, isso fica
6raiz6-2raiz212 =3raiz6-raiz26

Resposta

3raiz6-raiz26

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