Calcule o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o rotacional de um campo vetorial específico:
. A matéria que estamos usando aqui é o cálculo vetorial, mais especificamente o conceito de rotacional, que nos ajuda a entender a “circulação” de um campo vetorial. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas de derivadas parciais e montar o determinante que define o rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição do rotacional. O rotacional de um campo vetorial
é outro campo vetorial definido por:
Isso basicamente calcula a diferença entre certas derivadas parciais das componentes de
.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial
:
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias para montar o rotacional.
Passo 4
Primeiramente, calculamos
:
Em seguida,
:
A primeira componente do rotacional será:
Passo 5
Agora, calculamos
:
E
:
A segunda componente do rotacional será:
Passo 6
Por último, calculamos
:
E
:
A terceira componente do rotacional será:
Resposta
Portanto, o rotacional do campo vetorial
é: