Calcule o rotacional dos seguintes campos vetoriais: F(x, y, z)=(cos (2 x y), 3 x+2 z+y, y z^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o rotacional de um campo vetorial específico: F(x, y, z)=(cos (2 x y),; 3 x + 2 z + y,; y z^2). A matéria que estamos usando aqui é o cálculo vetorial, mais especificamente o conceito de rotacional, que nos ajuda a entender a “circulação” de um campo vetorial. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas de derivadas parciais e montar o determinante que define o rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição do rotacional. O rotacional de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é outro campo vetorial definido por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z,; partial Fxpartial z - partial Fzpartial x,; partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Isso basicamente calcula a diferença entre certas derivadas parciais das componentes de F.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial F:
Fx = cos(2xy), Fy = 3x + 2z + y, Fz = yz^2
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias para montar o rotacional.

Passo 4

Primeiramente, calculamos partial Fzpartial y:
partialpartial y (yz^2) = z^2
Em seguida, partial Fypartial z:
partialpartial z (3x + 2z + y) = 2
A primeira componente do rotacional será:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = z^2 - 2

Passo 5

Agora, calculamos partial Fxpartial z:
partialpartial z cos(2xy) = 0
E partial Fzpartial x:
partialpartial x (yz^2) = 0
A segunda componente do rotacional será:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = 0 - 0 = 0

Passo 6

Por último, calculamos partial Fypartial x:
partialpartial x (3x + 2z + y) = 3
E partial Fxpartial y:
partialpartial y cos(2xy) = -2x sin(2xy)
A terceira componente do rotacional será:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = 3 - (-2x sin(2xy)) = 3 + 2x sin(2xy)

Resposta

Portanto, o rotacional do campo vetorial F é:
nabla times F = ( z^2 - 2,; 0,; 3 + 2x sin(2xy) )

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