Encontre y(k) para as seguintes equações a diferença:
y(k)+y(k-1)+y(k-2)=0 , y(-1)=0, y(-2)=-1

Passo 1

O enunciado dá a equação a diferenças linear homogênea de segunda ordem
y(k) + y(k-1) + y(k-2) = 0
com condições iniciais y(-1)=0 e y(-2)=-1. O conteúdo é solução de recorrência por polinômio característico.

Passo 2

Assumimos solução do tipo y(k)=r^k. Substituindo na recorrência:
r^k + r^k-1 + r^k-2=0 ;Longrightarrow; r^k-2l(r^2 + r +1r)=0
Logo o polinômio característico é
r^2 + r + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^2 + r + 1 = 0
usando a fórmula de Bhaskara,
r = -1 pm raiz1 - 42 = -1 pm jraiz32 = e^pm j2pi3

Passo 4

A solução geral é combinação linear das duas raízes:
y(k) = alpha,e^j2pi3k ;+;beta,e^-j2pi3k

Passo 5

Para usar y(-1)=0 e y(-2)=-1 é mais prático achar primeiro y(0) e y(1) via a recorrência:
y(0) = -y(-1)-y(-2) = -0 -(-1) = 1,
y(1) = -y(0)-y(-1) = -1 - 0 = -1
Então temos o sistema
y(0)=1 = alpha + beta, y(1)=-1 = alpha,e^j2pi3 + beta,e^-j2pi3
Dessa forma obtém-se
alpha = 12 + j2raiz3, beta = 12 - j2raiz3

Passo 6

Substituindo alpha e beta em y(k) e usando as identidades de exponenciais em termos de cosseno e seno, chega-se à forma real
y(k) = cos!l(tfrac2pi k3r) ;-;1raiz3, sin!l(tfrac2pi k3r)

Resposta

boxedy(k) = cos!l(tfrac2pi k3r) ;-;1raiz3, sin!l(tfrac2pi k3r)

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