Calcule integralC(x+y) d s, onde C é a interseção das superfícies z=x^2+y^2 e z=4.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha de uma função escalar (x+y) ao longo da curva C definida pela interseção das superfícies
z = x^2 + y^2
e
z = 4
O conteúdo aqui é integral de linha de função escalar, que exige parametrizar C, calcular o elemento de comprimento ds e então integrar (x+y),ds.

Passo 2

A interseção satisfaz
x^2 + y^2 = 4
e
z = 4,
logo C é um círculo de raio 2 no plano horizontal z=4. Uma parametrização natural é
x = 2costheta, y = 2sintheta, z = 4, thetain[0,2pi]

Passo 3

Para obter ds usamos
ds = raizl(dxdthetar)^2 + l(dydthetar)^2 + l(dzdthetar)^2,dtheta
Como dxdtheta=-2sintheta, dydtheta=2costheta e dzdtheta=0, segue
ds = raiz(-2sintheta)^2 + (2costheta)^2,dtheta = raiz4(sin^2theta + cos^2theta),dtheta = 2,dtheta

Passo 4

Substituindo na integral
integralC(x+y),ds = integral0^2pil(2costheta + 2sinthetar),(2,dtheta) = 4integral0^2pil(costheta + sinthetar),dtheta

Passo 5

Calculando a integral
integral0^2picostheta,dtheta = l[sinthetar]0^2pi = 0, integral0^2pisintheta,dtheta = l[-costhetar]0^2pi = 0,
portanto
4integral0^2pi(costheta + sintheta),dtheta = 4,(0+0) = 0

Resposta

0

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