Considere a função
.
Expresse o volume do sólido
gerado pela rotação de
em torno da reta
por uma integral utilizando o método das fatias ou o método das cascas cilíndricas. Não precisa Calcular a integral.
Expresse o volume do sólido
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O exercício pede para a gente expressar o volume do sólido
que resulta da rotação da região
em torno da reta
. Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno de um eixo vertical, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método das cascas cilíndricas. Esse método envolve “empilhar” cilindros fininhos para calcular o volume total. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Aqui,
é a distância do eixo de rotação (no nosso caso,
) até a casca,
é a altura da casca, e
é o intervalo de integração.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. Como a função
é um paraboloide que abre para cima, precisamos determinar onde ela começa e termina para definir
e
. Supondo que estamos interessados na rotação de
até um ponto onde a função se estende, vamos considerar os limites de integração de 0 a algum valor
. Mas, como o exercício não especifica, vamos manter os limites genéricos de
a
.
Passo 4
Substituindo a função
na fórmula do método das cascas cilíndricas, temos:
Aqui,
é a distância do eixo de rotação
e
é a altura da casca em cada ponto
.
Passo 5
Então, a integral que representa o volume do sólido
é:
Essa é a expressão que o exercício pediu, utilizando o método das cascas cilíndricas. Não precisamos calcular a integral, então podemos parar por aqui.
Resposta
O volume do sólido
é dado por: