Considere a função f(x)=(x-1)^2.
Expresse o volume do sólido S gerado pela rotação de R em torno da reta x=0 por uma integral utilizando o método das fatias ou o método das cascas cilíndricas. Não precisa Calcular a integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x) = (x - 1)^2 . O exercício pede para a gente expressar o volume do sólido S que resulta da rotação da região R em torno da reta x = 0 . Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno de um eixo vertical, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método das cascas cilíndricas. Esse método envolve “empilhar” cilindros fininhos para calcular o volume total. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
V = 2pi integrala^b x cdot f(x) , dx
Aqui, x é a distância do eixo de rotação (no nosso caso, x = 0 ) até a casca, f(x) é a altura da casca, e [a, b] é o intervalo de integração.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Como a função f(x) = (x - 1)^2 é um paraboloide que abre para cima, precisamos determinar onde ela começa e termina para definir a e b . Supondo que estamos interessados na rotação de x = 0 até um ponto onde a função se estende, vamos considerar os limites de integração de 0 a algum valor c . Mas, como o exercício não especifica, vamos manter os limites genéricos de a a b .

Passo 4

Substituindo a função f(x) na fórmula do método das cascas cilíndricas, temos:
V = 2pi integrala^b x cdot (x - 1)^2 , dx
Aqui, x é a distância do eixo de rotação x = 0 e (x - 1)^2 é a altura da casca em cada ponto x .

Passo 5

Então, a integral que representa o volume do sólido S é:
V = 2pi integrala^b x (x - 1)^2 , dx
Essa é a expressão que o exercício pediu, utilizando o método das cascas cilíndricas. Não precisamos calcular a integral, então podemos parar por aqui.

Resposta

O volume do sólido S é dado por:
V = 2pi integrala^b x (x - 1)^2 , dx

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